Гидрогазодинамика (стр. 15 )

Уравнение Бернулли для нестационарного движения несжимаемой жидкости. Рассмотрим нестационарное движение жидкости, то есть ускоряющийся или замедляющейся поток. В этом случае для разгона жидкости, то есть придания ей ускорения, необходимо затратить некоторую энергию. В случае торможения потока жидкость сама будет совершать работу. Вспоминая, что уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии, приходим к выводу, что в случае нестационарного движения оно будет содержать дополнительный член , учитывающий работу внешних сил на разгон жидкости (или работу жидкости по преодолению внешних сил при торможении). Из соображений размерности понятно, что данный член будет пропорционален производной от скорости потока по времени и массе жидкости . В гидромеханике показывается, что данный член, например, при течении в круглой трубе длиной L имеет вид

.

С учетом этого дополнительного члена уравнение Бернулли для нестационарного одномерного движения несжимаемой жидкости запишется следующим образом

.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что инерционный член может быть, как положительным (при разгоне), так и отрицательным (при торможении).

5.3. Потери давления на гидравлических сопротивлениях

Для решения уравнения Бернулли необходимо уметь определять потери полного давления (напора). Информация о составляющих потерь и методах их расчета приведена в настоящем разделе.

5.3.1. Структура общих формул для расчета потерь давления

Потери полного давления при движении вязкой жидкости обусловлены деформациями движущейся среды (вследствие взаимодействия с ограничивающими поток стенками, находящимися в потоке элементами устройств и механизмов), возникновением в результате сдвиговых деформаций касательных вязкостных напряжений. Работа этих напряжении и приводит к диссипации механической энергии.

При рассмотрении потока, ограниченного внешними стенками, все внешние факторы, обуславливающие потери механической энергии движущейся жидкости, называют гидравлическими сопротивлениями.

Для того чтобы использовать уравнение Бернулли для решения прикладных задач необходимо предварительно установить зависимости, позволяющие определить величины потерь напора (полного давления), обусловленные гидравлическими сопротивлениями. Гидравлические потери по физической природе их проявления подразделяются на два типа:

1.  Местные потери (потери на местных сопротивлениях), обусловленные изменением по величине и направлению скорости движения жидкости, которое сопровождаются образованием вихревых зон. Местные потери локализованы на участке канала потока небольшой протяженности, причиной их возникновения является наличие уступов, резких изгибов стенок канала, слияние нескольких потоков или разветвление потока на несколько каналов, наличие регулирующих или запорных элементов (гидравлической арматуры) в рассматриваемом участке канала и т. п.

2.  Потери на трение – распределенные по длине канала потери, возникающие как следствие затрат энергии на преодоление сил трения жидкости о стенки. Под этими потерями понимают потери, возникающие в протяженных каналах с приблизительно постоянной площадью живого сечения и установившимся профилем скорости в нем, то есть при равномерном движении жидкости.

В реальных потоках участки равномерного движения жидкости могут чередоваться с местными сопротивлениями, число частных видов которых чрезвычайно велико. При подсчете полных потерь применяется принцип сложения, согласно которому полные потери давления равны сумме потерь на отдельных участках равномерного движения и потерь на всех местных сопротивлениях

,

где ‑ потери полного давления на трение на i-ом участке равномерного движения; ‑ потери полного давления на j-ом местном сопротивлении. В терминах напора выражение примет вид

.

Несмотря на то, что структура потока и механизм потерь в местных сопротивлениях и на участке равномерного движения существенно различны, исходя из общих законов гидродинамики можно установить структуру общих формул, выражающих потери в любом сопротивлении. Из этих общих формул в некоторых случаях удается получить теоретические формулы для конкретных видов сопротивлений, а в других – приходится дополнительно использовать эмпирические данные.

Формула расчета потерь на трение. Рассмотрим равномерный поток жидкости в цилиндрической трубе, в которой отсутствуют местные сопротивления. В установившемся потоке движущая сила – сила перепада давления уравновешивается силой сопротивления за счет трения:

,

где t ‑ напряжение трения; Fб – площадь боковой поверхности трубы. Для круглой трубы и принимает вид

.

Разделив и умножив правую часть на динамическое давление , получим

или

,

где ‑ коэффициент гидравлического трения.

Впервые формула была получена экспериментально в XIX веке и названа формулой Дарси-Вейсбаха.

Формула расчета потерь на местных сопротивлениях. При наличии местного сопротивления на рассматриваемом участке потока также возникает перепад давления . Относительная величина этого перепада

называется коэффициентом местного сопротивления. В общем случае коэффициент зависит от геометрии потока (то есть типа местного сопротивления и его размеров) и числа Рейнольдса и определяется с использованием экспериментальных данных. С учетом введенного коэффициента местного сопротивления, получим

.

Таким, образом, для учета потерь полного давления необходимо уметь определять коэффициенты , которые в общем случае зависят от конфигурации потока и режима течения (числа Рейнольдса).

5.1. Основы теории подобия и анализа размерностей и их применение
для определения сопротивления гидравлического трения

В технических приложениях зачастую приходится сталкиваться с ситуацией, когда исследование рабочих процессов на натурном объекте оказывается практически невозможным из-за больших материальных затрат или времени, потребного для выполнения испытаний. В этом случае испытания на натурном объекте заменяют исследованиями на моделях. Аналогичная ситуация необходимости выполнения модельных испытаний возникает и в исследовательских работах, когда требуемый результат не может быть получен расчетным путем.

Главной целью моделирования является выдача необходимых практических рекомендаций по результатам опытов на моделях. Для этого необходимо, во-первых, правильно смоделировать процесс и, во-вторых, представить полученные результаты таким образом, чтобы они обладали общностью, а не только отображали результаты испытаний конкретной модели. Этой цели и служит теория подобия и анализа размерностей.

5.1.1. Основные положения теории подобия

Термин подобие заимствован из геометрии. Как известно, геометрически подобные фигуры, например треугольники, обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Пусть длины сторон первого треугольника равны , а второго – . Тогда для подобных треугольников справедливы соотношения

.

Коэффициент пропорциональности cl в данном примере представляет собой константу подобия и данная константа одинакова для всех трех сторон треугольника. Представим теперь длины сторон в относительном, то есть безразмерном виде. Для этого выберем в качестве масштаба длин Ml, например, длину первой стороны. То есть для первого треугольника , для второго – . Тогда в относительных переменных длины сторон будут равны

.

Преобразуем следующим образом выражение для с использованием соотношений

.

Аналогично можно показать, что . Таким образом у подобных треугольников равны сходственные углы и длины сторон, представленные в относительном (безразмерном) виде.