Гидрогазодинамика (стр. 13 )

Обычно в технике приходится 'иметь дело с частными формами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии положения пренебрежимо мало в сравнении с другими частями уравнения энергии, поэтому членами gz1 и gz2 пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания примет следующий вид

.

Как уже отмечалось выше, уравнение теплосодержания справедливо вне зависимости от того, учитываются или нет силы трения. Отсутствие влияния сил трения можно объяснить следующим образом. Под действием трения давление вдоль канала падает, то есть газ расширяется, и, следовательно, температура должна была бы уменьшаться. Однако работа сил трения преобразуется в тепло; и так как работа сил трения в точности равна теплу, подведенному за счет этой работы, то подогрев компенсирует охлаждение.

Если можно пренебречь теплообменом и изменением скорости потока, тогда изменение теплосодержания затрачивается на совершение механической работы:

.

То есть, например, в колесе турбины температура газа уменьшается (), а в колесе компрессора температура возрастает ().

Если течение адиабатическое (), и техническая работа не совершается
() то принимает вид

.

То есть изменение теплосодержания (температуры) в энергетически изолированном процессе связано только с изменением скорости. Если скорость газа не меняется, то остается постоянной и температура.

Рассмотрим уравнение сохранения энергии для адиабатного течения в дифференциальной форме

.

Для исключения из этого уравнения скорости вычтем из него уравнение Бернулли, которое для рассматриваемого случая имеет вид

.

В результате получим

.

Используя термодинамические функции, приведенные в разделе 3.6, и уравнение состояния, преобразуем левую часть последнего уравнения

.

Подставив в, получим

или

.

Интегрируя получаем известную адиабату Пуассона

.

То есть при адиабатном движении идеального газа отношение остается постоянным вдоль линии тока. Из этого, в соответствии с, следует, что при таком течении энтропия также постоянна вдоль линии тока.

Заметим, что из уравнения сохранения энергии также может быть получено уравнение Бернулли. Для этого необходимо почленно вычесть из уравнения уравнение первого закона термодинамики и учесть равенство. Это еще раз подчеркивает энергетический смысл уравнения Бернулли, как уравнения, выражающего закон сохранения механической энергии потока.

4.8. Параметры торможения. Газодинамические функции

Из видно, что если газовую струю полностью затормозить, то теплосодержание достигнет максимального значения

,

которое называют полным теплосодержанием. Соответствующую температуру газа*

называют температурой торможения (или температурой адиабатически заторможенного потока). Температуру движущегося потока называют статической температурой Температура торможения выражается через статическую температуру потока формулой, следующей из и

.

Преобразуем с использованием формулы Майера :

где а– скорость звука в рассматриваемой точке потока.

С использованием ранее введенного числа Маха (см. ), формула может быть представлена в виде

.

Используя уравнение адиабаты: , можно получить следующие выражения для определения адиабатически заторможенной плотности и давления через соответствующие статические параметры и число Маха:

.

Относительные функции

.

устанавливающие связь между текущими (статическими) параметрами потока и параметрами в состоянии торможения называются газодинамическими функциями адиабатического, изоэнтропического течения. Они затабулированы в функции числа Маха и широко применяются в практике инженерных расчетов газовых течений*.

Интересно отметить, что в изоэнтропических формулах содержатся, как частный случай при М = 0 формулы несжимаемой жидкости:

.

Для того, чтобы показать это необходимо разложить правые части, в степенные ряды при малых М. То есть число Маха может являться мерой сжимаемости движущейся среды. Так, если допустить ошибку от неучета сжимаемости 1 %, то число Маха в потоке не должно превышать М £ 0,14. Таким образом, течение газа с невысокими скоростями можно рассматривать, как течение несжимаемой жидкости.

Поскольку скорость потока может быть как выше, так и ниже скорости звука, существует и такой режим, когда скорость потока равна скорости звука, то есть М = 1. Этот режим называется критическим. Ему соответствует значение температуры в потоке

.

Само значение скорости звука критического режима отличается от скорости звука в заторможенном газе

,

откуда

.

Можно охарактеризовать степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию еще одним способом, поделив тепловой перепад на теплосодержание при критическом режиме, то есть

.

Отсюда находим отношение

.

Отношение скорости потока u к критической скорости звука a* называется приведенной скоростью или скоростным коэффициентом*:

.

С учетом введенного параметра l формула примет вид

.

Из следует, что при максимальном расширении газа, когда T = 0, скоростной коэффициент принимает максимальное значение

.

Величина lnax позволяет найти максимальную скорость потока, достижимую при расширении до вакуума (р = 0) в сопле Лаваля. Вспоминая определение скоростного коэффициента и выражение для критической скорости звука , находим

,

где индексом «0» обозначены параметры адиабатически заторможенного потока. Из видно, что максимально достижимая в сопле Лаваля скорость газового потока определяется величиной его заторможенной энтальпии. Например, воздух, имеющий температуру торможения , невозможно разогнать до скорости более, чем » 775 м/с.

Введенные ранее газодинамические функции могут быть выражены и через скоростной коэффициент. Относительная температура находится по формуле, а относительная плотность и давление находятся из нее при помощи уравнения адиабаты

.