Гидрогазодинамика (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Филиал в г. Миассе

Кафедра «Гидравлика и теплотехника»

621.311.22

Гидрогазодинамика

Учебное пособие

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2010

Введение

В настоящем учебном пособии изложены основы теории гидрогазодинамики.

Приводятся общее описание физических свойств жидкостей и газов и дается понятие гипотезы сплошности среды. Приведен вывод основных уравнений равновесия, а также движения жидкостей и газов, рассмотрены решения уравнений для некоторых частных случаев. Рассмотрены модели идеальной жидкости и идеального газа, часто используемые при решении практических задач гидрогазодинамики. На базе модели одномерного течения анализируются стационарное и нестационарное движение жидкостей и газов в трубопроводах, дается физическое обоснование явления гидравлического удара.

Рассмотрены условия перехода скорости течения газа через критическую скорость звука. Приведен вывод соотношений расчета параметров газа при истечении из объемов при различных перепадах давления.

На примере анализа течений в трубопроводе рассмотрены основы теории подобия и анализа размерностей, используемые, как при проведении экспериментальных исследований, так и при теоретическом решении задач гидрогазодинамики.

Применяемый в пособии математический аппарат основан на материале курса высшей математики для технических вузов. Студент должен владеть навыками применения аппарата дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений. Предполагается знание студентом общей физики и теоретической механики.

При записи формул в настоящем пособии использованы следующие соглашения: переменные обозначаются, как правило, латинским шрифтом, набранные курсивом*; математические функции и операторы обозначаются буквами латинского алфавита и набираются прямым шрифтом; векторные величины выделяются жирным шрифтом.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика»

2. Основные физические свойства
жидкостей и газов

2.1. Молекулярная структура и особенности жидкого и газообразного
состояния среды

Материальные тела могут существовать в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком и газообразном. Каждое из них характеризуется определенными свойствами, которые определяются особенностями их молекулярной структуры, связанными с силами взаимодействия между частицами. Этими силами являются силы притяжения и отталкивания, действующие одновременно и зависящие от расстояния r между частицами, рис. 1.1. Молекула в поле этих сил обладает потенциальной энергией e, которая связана с величиной силы f уравнением d e(r) = ‑ f(r)d r.

Рис. 1.1. Зависимость силы взаимодействия молекул а) и потенциальной энергии молекул б) от расстояния между молекулами

При некотором расстоянии r0 сила взаимодействия между молекулами равна нулю, то есть силы притяжения и отталкивания уравновешены. То есть в точке r0 потенциальная энергия достигает минимума, так как d e/d r = 0, см. рис. 1.1.

В твердых (кристаллических) телах молекулы располагаются на расстояниях порядка r0, в правильном порядке, образуя кристаллическую решетку. При этом упорядоченность молекул простирается на дальние расстояния r >> r0. Молекулярные перемещения носят колебательный (тепловой) характер относительно устойчивых центров расположения молекул. Потенциальная энергия молекулярных связей по абсолютной величине превосходит кинетическую энергию теплового движения, что обеспечивает устойчивость расположения центров молекул и обуславливает макроскопические свойства этих тел: устойчивое сохранение объема и формы.

В газах при нормальных условиях межмолекулярные расстояния r > 10 r0. Вследствие этого силы притяжения чрезвычайно низки, а потенциальная энергия взаимодействия молекул мала по сравнению с кинетической энергией их теплового движения. Модель газа, в которой полностью пренебрегается силами притяжения между молекулами, называется совершенным газом. В совершенном газе молекулы движутся равномерно и прямолинейно до столкновения.

Свободное, беспорядочное движение молекул газа обуславливает его расширение во все стороны, благодаря чему газ не имеет определенного объема и формы, а принимает объем и форму сосуда, в который заключен. Стенки сосуда испытывают силовое воздействие от ударов хаотически движущихся молекул газа. Для совершенного газа величина давления р, то есть сила, приходящаяся на единицу площади стенки сосуда, определяется следующим соотношением кинетической теории газов

,

где n – число молекул в единице объема; m – масса одной молекулы; – среднее значение квадрата скорости движения молекулы газа.

Произведение

,

представляющее собой массу единицы объема газа, называется плотностью.

Абсолютная температура Т совершенного газа определяется формулой

,

где k = 1,38×10‑23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Давление р, плотность r и абсолютная температура Т являются величинами, характеризующими молекулярное движение газа. Их называют термодинамическими параметрами состояния среды.

Используя выражения для плотности и температуры, выражение можем записать в виде

,

где R = k/m – газовая постоянная.

Соотношение называется уравнением Клапейрона и является уравнением состояния совершенного газа.

Если к границе объема приложена сдвигающая сила, то движение молекул, оставаясь хаотическим, приобретает преимущественную направленность. То есть газы обладают свойством текучести, которое означает, что среда может неограниченно деформироваться под действием любой малой постоянной сдвигающей силы. Это свойство не означает отсутствия сопротивления сдвигу. Сопротивление проявляется в том, что данной силой можно вызвать только определенную скорость деформации и для ее увеличения необходимо увеличивать силу. Свойство среды сопротивляться сдвигающим усилиям называется вязкостью или внутренним трением. В газах вязкость обусловлена хаотическим движением молекул. Рассмотрим относительное смещение двух слоев, движущихся со скоростями u и u + Du, рис. 1.2. Благодаря хаотическому движению происходит перемещение молекул из слоя в слой и соответствующий перенос количества движения. Это приводит к выравниванию скоростей, обусловленному появлением силы Fm.

Рис. 1.2. Молекулярный обмен количеством движения хаотически
движущихся молекул

Для поддержания движения слоев с разностью скоростей Du необходимо приложить внешнюю силу, преодолевающую силу сопротивления, которая называется силой вязкости или силой внутреннего трения.

Сила вязкости, приходящаяся не единицу площади поверхности раздела двух слоев, называется вязкостным напряжением tm и определяется соотношением

,

где S – площадь сопротивления слоев, на которую воздействует сила внутреннего трения.

Для совершенного газа величину касательного напряжения tm можно определить, применив теорему импульсов к массе молекул, пересекающих единичную площадь на плоскости раздела слоев. В результате получается зависимость

,

где  – среднее значение абсолютной скорости молекул, l – средняя длина свободного пробега молекул.

Если обозначить

‑ коэффициент динамической вязкости газа, то можно записать в виде

.

Так как при повышении температуры возрастает, то коэффициент динамической вязкости также возрастает с увеличением температуры. При относительно низких давлениях коэффициент m от давления не зависит (так как входящие в величины также не зависят от давления). При высоких давлениях, когда газы близки к сжижению, коэффициент вязкости возрастает с увеличением давления.

Жидкости по своему молекулярному строению занимают промежуточное положение между твердыми кристаллическими телами и газами. Считается, что молекулы жидкостей расположены также плотно, как и молекулы твердых тел. Об этом свидетельствует равенство плотностей твердых тел и их расплавов. Поэтому можно считать, что межмолекулярные силы и потенциальная энергия молекул имеют тот же порядок, что и для твердых тел. Жидкости, как и твердые тела, устойчиво сохраняют величину занимаемого ими объема.

Упрощенная молекулярная модель жидкости выглядит следующим образом. Тепловое движение молекул жидкости представляет собой нерегулярные колебания около некоторых центров. В определенные моменты времени кинетическая энергия некоторых молекул оказывается достаточной для преодоления межмолекулярных связей, и они скачком меняют свое положение, оказываясь в окружении других молекул, меняя тем самым центр колебаний. Таким образом, каждая молекула жидкости находится некоторое время t*, называемое временем оседлости, в упорядоченной структуре с несколькими соседними молекулами. Совершив перескок, молекула оказывается в другой структуре, выстроенной другим образом. Поэтому в жидкостях сохраняется только ближний порядок. Скачки молекул совершаются хаотически, что обеспечивает диффузию молекул и текучесть жидкости. Если на границе жидкости приложена сдвигающая сила, то, как и в газах, появляется преимущественная направленность скачков и возникает течение жидкости в направлении силы.