Гидрогазодинамика (стр. 29 )

9.4. Результаты решения уравнений пограничного слоя для
отдельных частных случаев

Основной задачей решения уравнений пограничного слоя в задачах гидромеханики является определение напряжений (или коэффициентов) трения, а задачах теплопереноса – плотности тепловых потоков (или коэффициентов теплоотдачи) на обтекаемых поверхностях.

Рассмотрим некоторые наиболее известные результаты решения уравнений гидродинамического пограничного слоя.

 Блазиуса для ламинарного пограничного слоя на пластине. Решение получено путем интегрирования уравнений пограничного слоя, формирующегося при обтекании пластины плоскопараллельным однородным потоком, и имеет вид

,

где t – напряжение трения; u0 – скорость внешнего потока; n – коэффициент кинематической вязкости жидкости; х – продольная координата, отсчитываемая от начала пластины.

Обычно в практических расчетах используется относительная величина касательных напряжений – коэффициент трения Cf, для которого из получается следующее выражение

,

где – число Рейнольдса, определенное по длине пластины.

Проинтегрировав по двум поверхностям пластины (верхней и нижней) и поделив на (где ‑ площадь поверхности пластины), получим коэффициент силы трения на пластине:

.

Эти результаты хорошо совпадают с опытными данными И. Никурадзе, которым разными методами получено: , что подтверждает верность основных положений теории пограничного слоя. Вместе с тем, следует отметить, при x = 0 решение дает совершенно не соответствующий физическим представлениям. Формула в этом случае дает результат t = ¥. Объясняется это тем, что вблизи переднего края пластины нарушается условие , положенное в основу вывода уравнений пограничного слоя.

Решение уравнений турбулентного пограничного слоя на пластине. Приводимое ниже решение получено методом интегральных соотношений в предположении, что профиль скорости поперек пограничного слоя степенной:

,

где ux – продольная составляющая скорости в пограничном слое; u0 – скорость течения во внешнем потоке; у – поперечная координата; d – толщина пограничного слоя; n = 1/7.

Полученные в результате решения напряжение трения t и сила сопротивления Fm при обтекании пластины выражаются формулами:

.

С использованием этих величин коэффициенты местного и полного сопротивлений пластины найдутся из соотношений

.

Эти результаты достаточно хорошо соответствуют экспериментальным данным при .

9.5. Сопротивление тел обтекаемых вязкой жидкостью

Тело, движущееся в жидкости, встречает со стороны последней сопротивление, для преодоления которого нужна дополнительная сила. В случае же когда тело неподвижно, а жидкость обтекает его, наоборот тело оказывает сопротивление течению жидкости.

Рассмотрим силу, с которой набегающий поток действует на обтекаемое тело. Эта сила складывается из сил давления и сил трения. Результирующая этих сил является полной гидродинамической (газодинамической) силой Р, которую принято представлять двумя составляющими силой лобового сопротивления Рх и подъемной силой Ру, рис. 8.6.

Рис. 8.6. Силы взаимодействия тела с потоком

За обтекаемым телом образуется гидродинамический след. Частицы жидкости, приторможенные в пограничным слое, попадают в след и постепенно смешиваются с основным потоком. Непосредственно за плохообтекаемым телом давление в следе может быть существенно ниже давления в невозмущенном потоке. Однако оно очень быстро выравнивается, в то время, как отличие в скорости может сохраняться на больших расстояниях за телом. Применим к контрольному объему ABCD уравнение сохранения количества движения, учитывая, что расход жидкости через поверхности AB и CD одинаков:

.

Откуда найдем силу лобового сопротивления

.

Из формулы видно, что сила лобового сопротивления связана с падением скорости и давления в следе. Это в соответствии с уравнением Бернулли означает, что возникновение силы лобового сопротивления объясняется рассеянием механической энергии в потоке вследствие вязкости, то есть возрастанием энтропии.

Как уже отмечалось силу лобового сопротивления принято делить на силу сопротивления давления и силу трения. Такое деление условно, так как причиной возникновения, как одной, так и другой силы является вязкость жидкости, но удобно с методической точки зрения.

Для оценки силового взаимодействия между потоком и телом вводятся безразмерные аэродинамические коэффициенты:

·  коэффициент лобового сопротивления

;

·  коэффициент подъемной силы

;

Коэффициенты Сх и Су зависят от формы тела, его ориентации в потоке и режима обтекания, характеризуемого числами Рейнольдса и Маха. Обтекание тела сверхзвуковым потоком (М > 1) сопровождается образованием ударных волн и волн разрежения. В этом случае сила сопротивления давления называется волновым сопротивлением.

Все тела делят на хорошо обтекаемые и плохо обтекаемые. Тела, обтекаемые без отрыва пограничного слоя называют хорошо обтекаемыми, а с отрывом – плохо обтекаемыми. Обтекаемость тел зависит от тех же факторов, что и аэродинамические коэффициенты и может характеризоваться отношением силы сопротивления давления к силе сопротивления трения. Одно и то же тело при различной ориентации в потоке и при различных режимах течения может быть хорошо и плохо обтекаемым. Плохо обтекаемые тела всегда обтекаются с отрывом. Рассмотрим зависимость коэффициента Сх шара от числа Рейнольдса , рис. 8.7.

Рис. 8.7. Схемы обтекания и коэффициенты сопротивления шара и цилиндра в
зависимости от числа Рейнольдса: 1 – цилиндр; 2 – шар

Здесь можно отметить пять характерных областей, возникновение которых обусловлено изменением картины обтекания, см. рис. 8.7. В области I, при Re0 < 100. уменьшается. Здесь обтекание практически безотрывное. Картина обтекания близка к картине обтекания шара идеальной жидкостью. Сила сопротивления почти исключительно определяется силой сопротивления трения. Резкое снижение с увеличением числа Рейнольдса показывает, что в этой области сила сопротивления пропорциональна скорости u0, что характерно для ламинарного режима течения.

При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса до (область II) в кормовой части возникает неустойчивое вихревое движение. Это понижает давление в кормовой части и приводит к увеличению сопротивления давления и замедлению падения .

В области III, где , ламинарный пограничный слой отрывается от поверхности шара. В области срыва течения поток еще ламинарный и на некотором удалении в кормовой зоне турбулизируется. Коэффициент слабо возрастает, что объясняется интенсификацией вихревого движения в кормовой области и увеличением сопротивления давления.

При (область IV) коэффициент аэродинамического сопротивления сохраняет приблизительно постоянное значение так как положение точки отрыва S пограничного слоя не изменяется. Эта область называется областью локальной автомодельности по числу Рейнольдса. В этой области при увеличении Re0 увеличивается зона турбулентности в области обратных токов за точкой отрыва и точка Т перехода ламинарного течения в турбулентное в отрывной зоне приближается к точке отрыва S ламинарного пограничного слоя.

Затем в узкой зоне чисел Рейнольдса коэффициент кризисным образом уменьшается (область V). В этой области чисел Re0 точка перехода Т совпадает с точкой отрыва S. То есть пограничный слой турбулизируется перед отрывом. Турбулентный пограничный слой обладает большей сопротивляемостью отрыву. Поэтому точка отрыва, теперь уже турбулентного пограничного слоя, резко смещается вниз по потоку. Обтекание шара улучшается, сопротивление давления резко падает, что приводит к падению в 3…5 раз.