Гидрогазодинамика (стр. 4 )

3. Статика жидкости и газов

3.1. Общие условия равновесия. Основная теорема гидростатики

Напряженное состояние жидкостей и газов. Жидкости газы всегда подвержены действию некоторых сил. Вследствие текучести этих сред силы являются распределенными, то есть действующим во всех точках поверхности или объема. Рассмотрим силы, действующие на некоторый объем жидкой либо газовой среды. В зависимости от области приложения силы делятся на внешние и внутренние. Внешние силы приложены к выделенному объему со стороны внешней среды, внутренние – возникают в пределах рассматриваемого объема. По характеру воздействия силы классифицируются на поверхностные и объемные.

К поверхностным силам относятся силы внутреннего трения и силы давления. Они действуют лишь на поверхность выделенного объема и обусловлены действием соседних частиц жидкости или твердых тел, соприкасающихся с рассматриваемым объемом. По третьему закону Ньютона выделенный объем жидкости действует на соприкасающиеся с ним тела с такой же силой.

К объемным силам относятся силы тяжести, инерции и электромагнитные. Они пропорциональны массе выделенного элемента объема и действуют на все частицы.

Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять поверхностные силы при равновесии жидкости. Представим некоторый объем жидкости W, находящийся в равновесии, рис. 2.1.

Рис. 2.1. К определению гидростатического давления

Пусть на произвольную элементарную площадку DS поверхности покоящегося объема W действует сила DP. Покажем, что данная сила направлена по внутренней нормали к рассматриваемой площадке. Действительно, если бы сила DP была направлена не по нормали, то эту силу можно было бы разложить на составляющие: нормальную и касательную . Из-за текучести жидкости касательная составляющая привела бы жидкость в движение. Следовательно, для обеспечения равновесия жидкости необходимо выполнение условий

.

Тогда . Далее, опыты показывают, что капельная покоящаяся жидкость не сопротивляется растягивающим напряжениям, поэтому сила должна быть только сжимающей. Таким образом, в покоящейся жидкости действие поверхностных сил всегда направлено по внутренней нормали к площадке действия*.

В механике жидкости и газа рассматривают единичные силы. Если рассматриваются поверхностные силы, то они относятся к единице площади поверхности, на которую девствуют, то есть /DS. Предел этого отношения

называется вектором напряжения поверхностных сил в точке, к которой стягивается площадка DS.

Объемные силы принято относить к единице массы жидкости. То есть, если есть объемная сила, приложенная к объему жидкости , тогда

и будет этой единичной объемной силой**. Например, объемная сила, обусловленная действием на жидкость объемом DV ускорения а, есть , то есть равна самому вектору ускорения.

Основная теорема гидростатики. Гидростатическое давление в данной точке не зависит от того как ориентирована площадка, к которой принадлежит эта точка.

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме тетраэдра и рассмотрим баланс действующих на него сил, рис. 2.2. Площади поверхности граней этого тетраэдра равны , , а объем .

Рис. 2.2. Схема действия напряжений поверхностных сил

Так как выделенный объем находится в равновесии, то сумма действующих на него внешних сил должна быть равна нулю . Или в проекциях на координатные оси

.

Рассмотрим подробнее проекцию суммы сил на ось х. К грани тетраэдра, перпендикулярной оси х, приложена поверхностная сила, обусловленная действием нормальных напряжений px. Проекция на ось х этой силы равна , где рх – модуль вектора нормальных напряжений рх, – площадь поверхности этой грани. На наклонную грань тетраэдра действуют нормальные напряжения pn, которые обуславливают возникновение приложенной к этой грани поверхностной силы , где – площадь поверхности наклонной грани. Проекция этой силы на ось х может быть записана следующим образом *, где pn – модуль вектора напряжений pn, – площадь поверхности грани, а – это косинус угла между вектором внешней нормали к площадке и единичным вектором i. Будем считать, что массовые силы F, приложенные к выделенному объему, вызваны действием ускорений (например, силы тяжести и силы инерции), суммарный вектор которых обозначим а. Тогда вектор объемной силы, приложенной к выделенному тетраэдру, найдется, как , где – объем тетраэдра. Проекция на ось х этой объемной силы будет иметь вид , где ах– проекция ускорения а на ось х. Таким образом, проекция на ось х суммы сил, действующих на выделенный объем, запишется следующим образом

.

Учитывая, что , и сокращая на , запишем в виде

.

При бесконечном уменьшении объема рассматриваемого тетраэдра и стягиванию его к началу координат . Окончательно получаем

.

При проецировании суммы сил на другие оси получаем аналогичные соотношения. Тогда в целом можем записать

.

Из следует, что величина нормального сжимающего напряжения в любой рассматриваемой точке объема жидкости не зависит от ориентации площадки, проходящей через эту точку. Эта величина обозначается через р и носит название гидростатического давления.

Как видим, величина гидростатического давления в рассматриваемой точке объема жидкости не зависит от ориентации площадки, что и требовалось доказать. Конечно, гидростатическое давление, будучи одинаковым по любому направлению в рассматриваемой точке, неодинаково в различных точках пространства. В общем случае гидростатическое давление является функцией и от плотности жидкости. Но для конкретно взятой жидкости оно является функций только от координат . Таким образом, давление – это скалярная величина.

3.2. Основное уравнение гидростатики (уравнение Эйлера)

Получим дифференциальное уравнение, описывающее условия равновесия неподвижной жидкости. Для этого выделим в ней элементарный объем в форме параллелепипеда, рис. 2.3, и запишем условие равновесия для этого объема, которое заключается в равенстве нулю главного вектора внешних сил, действующих на рассматриваемый объем.

Рис. 2.3. К выводу уравнения Эйлера

Рассмотрим проекции внешних сил на ось х. На грань АBCD параллелепипеда действует сила давления, равная , а на грань А1B1C1D1 – сила *, направленная в противоположную сторону. Выражая объемную силу, приложенную к параллелепипеду, через ускорение а, ее проекции на ось х можем записать в виде , где r плотность жидкости. Считая, что функция давления дифференцируема, представим р1 в виде