Гидрогазодинамика (стр. 17 )

,

связывающую между собой 7 размерных величин. Величин, имеющих независимые размерности в данной задаче 3, так как за основные размерности в механике приняты: метр, секунда, килограмм массы. Следовательно, в соответствии с p-теоремой зависимость может быть преобразована к зависимости между четырьмя безразмерными комплексами – числами подобия. В качестве величин с независимыми размерностями примем плотность, скорость и диаметр. Оставшиеся четыре величины Dр, l, k, m служат «основой» для формирования четырех безразмерных комплексов. Два комплекса следуют из полученной ранее формулы. Первый из них построен на основе величины Dр и это число Эйлера . Второй, сформированный на основе величины l, представляет собой относительную длину трубопровода . Третий комплекс, в котором «задействована» величина k, для того, чтобы быть безразмерным параметром, должен иметь вид, аналогичный p2. То есть это относительная высота бугорков шероховатости . Четвертый комплекс, который формируется на основе величины m, представляется в виде следующей комбинации

.

Этот комплекс имеет фундаментальное значение в механике жидкости и газа, называется числом Рейнольдса и обозначается как Re.

Таким образом, зависимость может быть представлена в виде

.

Придадим ей более ясный вид, для чего вновь обратимся к формуле, которую запишем следующим образом

.

Сравнивая и, можем сделать вывод, что коэффициент гидравлического трения l в общем случае должен быть функцией двух параметров

.

Таким образом, используя положения теории подобия и анализа размерностей, мы смогли сформировать обобщенный вид зависимости потерь давления на трение от определяющих параметров.

При исследовании подобия нестационарных гидромеханических процессов в дополнение к полученным выше числам Eu, Fr, Re используется еще один безразмерный комплекс, называемый числом Струхаля

.

Он может быть получен при обезразмеривании нестационарного уравнения движения жидкости.

Введенным выше при анализе гидродинамических процессов безразмерным комплексам (числам подобия) можно дать следующее физическое истолкование. Число Фруда характеризует отношение силы инерции к силе тяжести; число ‑ отношение силы давления к силе инерции; число ‑ отношение сил инерции к силе вязкости; число ‑ отношение локальной силы инерции к конвективной. Это еще раз подтверждает то, что рассмотренные числа подобия являются числами динамического подобия, так как все они представляют собой отношение различных сил.

В завершении анализа вида зависимости потерь давления не трение от определяющих параметров заметим, что конкретный вид уравнения устанавливается на основании экспериментальных исследований. В некоторый частных случаях этот вид может быть получен путем теоретического анализа. Материалы, посвященные данному вопросу, приведены в двух следующих разделах.

5.2. Потери на трение при ламинарном течении

При ламинарном режиме течения жидкости в трубе характеристики сопротивления трения могут быть определены теоретическим путем. Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости по участку трубопровода длиной l и диаметром d, рис. 4.3.

Рис. 4.3. К определению характеристик сопротивления
трения в ламинарном потоке

В условиях установившегося течения разность давлений Dр = (р1 ‑ р2) затрачивается на преодоления сил сопротивления. Заметим, что при течении по трубопроводу давление в любом из поперечных сечений может считаться постоянным. То есть в каждой точке сечения 1 давление равно р1, а в каждой точке сечения 2 – р2. Тогда, так как при ламинарном течении жидкость движется параллельными слоями, то для любого значения поперечной координаты у можем записать выражение

,

откуда находим напряжение трения t

.

С другой стороны, в соответствии с законом трения Ньютона, при ламинарном режиме течения напряжение трения выражается формулой

Приравнивая правые части и, получим уравнение для определения профиля скорости поперек потока

.

Интегрируя, получаем

.

Так как на стенке канала (при у = 0) скорость рана нулю, то константа интегрирования также рана нулю С = 0. Следовательно,

.

При у = d/2 скорость достигает максимума

.

Найдем расход Q и среднерасходную скорость w жидкости в канале.

.

Как видно из и, при ламинарном течении в круглой трубе максимальная скорость жидкости в два раза больше среднерасходной скорости, то есть коэффициент Кориолиса aл при данных условиях

.

Определим напряжение трения при ламинарном течении. Для этого подставим в :

.

Тогда коэффициент трения l для случая ламинарного течения жидкости в круглой трубе будет равен

.

Зависимость называется формулой Пуазейля.

5.3. Опытные данные о коэффициенте гидравлического трения

Если при эксперименте измерить перепад давления и среднюю скорость в трубопроводе, то коэффициент гидравлического трения l может быть найден по формуле Дарси-Вейсбаха. Впервые такие опыты выполнил и обобщил для гидравлически гладких и шероховатых труб Иван Ильич Никурадзе в Гетингенском университете 1933 г. под руководством Л. Прандтля. Опыты проводились для труб с искусственно созданной равномерно-зернистой шероховатостью, то есть бугорки шероховатости имели приблизительно одинаковые размеры и форму*. Результаты опытов И. Никурадзе представлены на диаграмме, рис. 4.4. В качестве геометрического параметра подобия при обработке результатов экспериментов принято отношение , где индексом «s» отмечена равномерно-зернистая шероховатость. На диаграмме имеется пять зон.

Рис. 4.4.  Никурадзе зависимости коэффициента трения
для труб с равномерно-зернистой шероховатостью

1 – зона ламинарного режима (Red < 2300). В пределах этой зоны l не зависит от шероховатости (кривая 1) и подчиняется формуле Пуазейля

.

Здесь и далее Red – число Рейнольдса, определенное по диаметру трубопровода, то есть .

2 – переходная зона от ламинарного к турбулентному режиму течения соответствует числам Рейнольдса (кривая 2). В потоке наблюдается исчезающие очаги турбулентности. Коэффициент трения определяется по формуле Френкеля

3 – зона турбулентного движения в гидравлически гладких трубах (кривая 3 на рис. 4.4) соответствует числам Рейнольдса и высоте бугорков шероховатости . Коэффициент трения может быть определен по формуле Блазиуса

.

4 – доквадратичная зона сопротивления ограничивается кривой 3 и пунктирной линией K‑K (режим частично шероховатых труб) соответствует числам Рейнольдса . Коэффициент трения может быть определен по формуле Альтшуля

5 – зона квадратичного сопротивления образована горизонтальными участками кривых* (режим развитой шероховатости) соответствует числам Рейнольдса . Здесь работает формула Никурадзе