Гидрогазодинамика (стр. 26 )

Рассмотрим теперь, как изменяются другие параметры потока при прохождении скачка уплотнения.

Из условия сохранения полной энтальпии следует сохранение температуры торможения газа Т0, а также, следовательно, и а0, а* и Т*:

.

Найдем связь между скоростями газа u1 и u2 до и после скачка уплотнения. Перепишем уравнение сохранения количества движения с учетом уравнения неразрывности в виде

.

Уравнение сохранения энергии, записанное для каждой зоны, с учетом соотношения можно представить в виде

.

Выразим отсюда отношение p/r для каждой зоны

и подставим в

.

После преобразований принимает вид

.

Так как в скачке уплотнения , то в соответствии с уравнением неразрывности u1 > u2 и тогда из следует формула Прандтля

.

Так как u1 > u2, то из следует, что

.

То есть при движении газа до прохождения прямого скачка уплотнений поток является сверхзвуковым, а после скачка – дозвуковым. Можно сказать, что прямой скачок уплотнения является формой перехода от сверхзвукового течения к дозвуковому.

Определим изменение статического давления при прохождении прямого скачка уплотнений . Для этого используем уравнения сохранения массы, количества движения и формулу Прандтля:

.

Применив формулу перехода от числа Маха к скоростному коэффициенту и обратного перехода, окончательно получаем

,

и

.

Скорость ударной волны и спутного потока. Определим скорость распространения ударной волны D по неподвижному газу и скорость потока возмущенного газа uсп, возникающего за ударной волной, называемого спутным потоком. Вспоминая, что при выводе расчетных соотношений для скачка уплотнений мы применили прием обращения движения, можем записать

.

За меру интенсивности скачка, а следовательно, и ударной волны, примем число Маха М1 и сжатие газа в скачке р2/р1. В соответствии с определением числа Маха и выражением можем записать:

.

Отсюда находим зависимость скорости ударной D волны от ее интенсивности

.

Из этой формулы следует:

·  скорость распространения ударной волны по отношению к неподвижному газу всегда больше скорости звука в невозмущенном газе;

·  звуковую волну можно рассматривать, как ударную волну очень малой интенсивности, так как при этом имеем

.

Для определения скорости спутного потока используем формулу Прандтля. С учетом можем записать

.

Для критической скорости звука можем записать равенство

.

Подставив в и учитывая, что , получим

.

Если подставить в число Маха, выраженное из, то получим связь скорости uсп со сжатием газа в волне р2/р1:

.

Зависимость скорости ударной волны и спутного потока от интенсивности ударной волны для воздуха с температурой 300 К показана на рис. 7.5.

Представленные данные показывают, что скорость спутного потока за ударной волной может быть очень большой. Так, например, ударная волна, несущая относительное сжатие воздуха р2/р1 = 1,22, могла бы вызвать спутный поток со скоростью 50 м/с. Отсюда также видно, сколь ничтожные сжатия воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не смещающие частицы воздуха.

Рис. 7.5. Скорость спутного потока за ударной волной

8.3. Косые скачки уплотнения

Помимо прямых скачков уплотнения, встречаются и так называемые косые скачки уплотнения. Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению потока (рис.7.6). Косой скачок получается в том случае, когда, пересекая фронт скачка, сверхзвуковой газовый поток должен изменить свое направление, например, при косом натекании сверхзвукового потока на преграду.

При пересечении потоком фронта косого скачка модуль нормальной составляющей скорости уменьшается, а модуль тангенциальной составляющей остается неизменным.

Рис. 7.6. Схема косого скачка уплотнения

Формально косой скачок уплотнения может быть сведен к прямому скачку, который сносится вместе с потоком газа вбок вдоль фронта скачка со скоростью, равной тангенциальной составляющей скорости. Из этого следует, что при малых углах a сверхзвуковой поток перед скачком может оставаться сверхзвуковым и после прохождения косого скачка уплотнения.

При одной и той же скорости набегающего потока косой скачок уплотнения всегда бывает слабее прямого. Для отношений давления в косом скачке может быть получено соотношение

,

откуда видно, что в предельном случае, когда косой скачок переходит в прямой (a = 90 °), увеличение давления получается максимальным.

В другом предельном случае, когда угол наклона скачка к направлению потока перед ним определяется условием

косой скачок вырождается в бесконечно слабую волну (p1 » р2). Разъясним этот факт несколько подробнее. Пусть в некоторой точке «О» сверхзвукового газового потока возникло бесконечно малое возмущение давления (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Образование волн слабых возмущений

Слабая волна сжатия (или разрежения) побежит из центра возмущения во все стороны со скоростью звука а. Через единицу времени (t = 1 с) фронт волны будет представлять собой сферу радиуса r = а. Однако вся масса газа, в которой возникла волна, сносится по потоку со сверхзвуковой скоростью u > а. По этой причине слабые волны давления никогда не выйдут за пределы конуса, поверхность которого является огибающей для сферических волн. Образующая такого конуса носит название волны Маха или характеристики. Угол a0 между образующей и осью называется углом Маха или углом распространения слабых возмущений. Этот угол, как видно из рис. 7.7, определяется равенством

.

Итак, фронт очень слабого косого скачка уплотнения располагается по отношению к набегающему потоку под углом a0, который определяется равенством. Сильные возмущения, как было показано выше, распространяются со сверхзвуковой скоростью, в связи с чем фронт сильного скачка образует с набегающим потоком больший угол, чем характеристика: a > a0. Диапазон изменения угла a для косого скачка уплотнения определяется, таким образом, следующими пределами:

.

Из изложенного видно, что полное торможение сверхзвукового потока требует либо одного прямого скачка, либо системы из нескольких косых скачков*.

Пример визуализации течения с образованием косых скачков уплотнения показан на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Комбинация конуса и цилиндра в сверхзвуковом полете: М = 1,84.
Конические (косые) скачки уплотнения на вершине конуса. Пограничный слой
за вершиной конуса становится турбулентным и порождает волны Маха
при обтекании углов модели

8.4. Скачки конденсации

Выше были рассмотрены адиабатические скачки уплотнений, которые могут возникать в сверхзвуковых потоках. В некоторых технических устройствах в потоках наблюдается скачкообразное изменение параметров при внезапном подводе теплоты. Такие процессы возможны при горении смеси или конденсации переохлажденного пара, текущего в соплах. Если длина участка, на котором происходит подвод теплоты, очень мала по сравнению с размером области, где наблюдается явление, то можно зону конденсации рассматривать, как поверхности разрыва. В таком случае можно считать, что бесконечно тонкий фронт скачка конденсации разделяет области, где движется переохлажденный и влажный пар.