Гидрогазодинамика (стр. 12 )

Совершенный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона, а его коэффициенты удельной теплоемкости являются константами.

Вследствие постоянства коэффициентов удельной теплоемкости удельная внутренняя (тепловая) энергия e и энтальпия (теплосодержание) h совершенного газа определяются следующими формулами

,

где Т – абсолютная термодинамическая температура, ‑ коэффициенты удельной теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно, которые в термодинамике определяются, как следующие частные производные

,

где q – количество подведенной к газу теплоты.

Рассмотрим выражение для первого начала термодинамики: подведенная к телу теплота идет на изменение внутренней энергии тела и совершения им работы расширения, то есть

.

Продифференцируем по Т при постоянном давлении

.

Учитывая, что и используя уравнение состояния, найдем выражение для производной, входящей в правую часть

.

Подставив в и учитывая определения, получим

.

Соотношение называется формулой Майера.

Отношение коэффициентов удельных теплоемкостей

называется показателем адиабаты.

Используя приведенные соотношения, можно получить следующие зависимости между удельной внутренней энергией и энтальпией

.

Рассмотрим еще одну термодинамическую функцию – энтропию S, определяемую соотношением

.

Преобразуем, используя выражение для первого начала термодинамики и

Отсюда, интегрируя, получаем

.

Из следует, что при адиабатном течении идеального газа энтропия потока остается постоянной.

4.7. Уравнение сохранения энергии

Применим закон сохранения энергии к элементу массы газа в трубке тока, располагающегося в начальный момент времени между сечениями 1 и 2, рис. 3.8. Согласно первому началу термодинамики он может быть сформулирован следующим образом: изменение полной энергии рассматриваемой массы газа (внутренней dе и кинетической dек) за время dt равно сумме работы внешних сил dAF, действующих на данную массу, и подведенной к ней тепловой энергии Qdt за вычетом технической работы dАтех, совершаемой газом:

.

Пусть за интервал времени dt рассматриваемая масса переместилась из положения 1–2 в положение 1¢–2¢. Так как течение стационарно, то параметры газа, располагающегося между сечениями 1¢ и 2 неизменны. Следовательно, изменение внутренней энергии рассматриваемой массы газа за время dt равно разности внутренних энергий, содержащейся в элементарной массе dm2 = r2u2s2 и массе dm1 = r1u1s1, см. рис. 3.8. В силу уравнения неразрывности данные элементарные массы равны между собой dm2 = dm1 =dm. Тогда изменение внутренней энергии за интервал времени d t будет равно

,

где е1 и е2 – удельная внутренняя энергия газа, содержащаяся в элементарных массах dm1 и m2 соответственно.

Рис. 3.8. К выводу уравнения сохранения энергии

Изменение кинетической энергии также будет равно разности кинетических энергий элементарных масс dm2 и dm1, то есть

.

Из внешних сил на рассматриваемую массу действуют сила веса, силы давления и сила сопротивления, обусловленная влиянием вязкости.

Сила веса, приложенная к массе газа, расположенной между сечениями 1¢ и 2, работы не совершает, так как параметры газа в этом объеме постоянны вследствие стационарности течения, и перемещение точки приложения этой силы не происходит. Таким образом, работа силы веса будет равна работе по перемещению элементарной массы dm1 из положения, определяемого координатой z1, в положение, занимаемое элементарной массой dm2 (с координатой z2). Учитывая, что эти элементарные массы одинаковы, выражение для работы силы веса Ag запишем следующим образом

Силы давления, приложенные к боковой поверхности трубки тока, работу не совершают, так как, в соответствии с определением трубки тока, векторы скорости касательны к ее боковой поверхности. Следовательно, работа сил давления, складывается из работ сил и , действующих в сечениях 1 и 2. За интервал времени d t сечение 1 переместится на величину . Тогда работа силы Fp1 равна . Аналогично, для работы силы Fp2 можем записать выражение . Эта работа отрицательна, так как направление действия силы противоположно перемещению. Таким образом, работа всех сил давления запишется как

Работу по преодолению сил вязкого сопротивления обозначим через *, а техническую работу, совершаемую газом, – через .

Если обозначить поток теплоты, поступающий к рассматриваемой массе газа через QS, то за интервал времени t к массе выделенного газа поступит тепловая энергия QS t.

Подставляя полученные выражения в, будем иметь

Деля обе части уравнения на dm и группируя члены с одинаковыми индексами, получим

,

где – удельные (отнесенные к 1 кг) затраты энергии на преодоление сил вязкого сопротивления; – удельное количество тепловой энергии, подведенное к рассматриваемой массе газа на участке от сечения 1 до сечения 2. Тепловая энергия, подведенная к нашей массе газа , включает теплоту, поступающую к ней извне через боковую поверхность, ограничивающую трубку тока и внутреннюю , выделяющуюся в результате перехода в теплоту работы, совершаемой газом при преодолении сил вязкого сопротивления. Поэтому очевидно, что

.

С учетом последнего равенства уравнение сохранения энергии запишется следующим образом

.

Дифференциальная форма уравнения может быть получена путем рассуждений, аналогичных проведенным при выводе уравнения Бернулли (см. раздел 3.3) и имеет вид

.

Рассмотрим несколько частных случаев уравнения сохранения энергии.

Уравнение теплосодержания. Используя соотношение, связывающее энтальпию газа с его внутренней энергией, перепишем уравнение в виде

.

Уравнение носит название уравнения теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания не содержит работы трения. В самом деле, поскольку энергия, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивления, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общий баланс энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой.