Гидрогазодинамика (стр. 7 )

.

Последний интеграл в представляет собой статический момент площадки S относительно оси х. Тогда справедливо равенство

,

где l0 – координата центра масс площадки S, отсчитываемая вдоль оси у. С учетом выражение примет вид

.

То есть полная сила давления на плоскую наклонную стенку по величине равна произведению площади этой стенки на гидростатическое давление в ее центре масс. Если давление над жидкостью равно атмосферному, то есть р0 = рат, то

.

Найдем координаты точки приложения сил давления. Для этого представим силу давления в виде суммы двух сил – силы внешнего давления и весового давления:

.

Так как внешнее давление р0 по закону Паскаля передается всем точкам жидкости без изменения, то равнодействующая сила Р0 приложена в центре масс площади S.

Для определения координаты точки приложения силы от весового давления применим теорему Вариньона, согласно которой момент от действия равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил относительно той же самой оси:

.

Величина равнодействующей силы весового давления согласно равна

.

Последний интеграл в соотношении представляет собой момент инерции Jx площади S относительно оси х:

.

С учетом и из получаем

.

Из теоретической механики известно, что момент инерции Jx может быть представлен в виде

,

где J0 – центральный момент инерции рассматриваемой площади S (относительно оси, проходящей через центр масс).

Подставив в, получим

.

Таким образом, точка приложения равнодействующей сил весового давления Р на площадь S расположена ниже центра масс этой площади. Расстояние между ними равно

.

Если внешнее давление равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. Если же , то координаты центра давления находятся по правилам механики, как координаты точки приложения суммы сил от внешнего и весового давлений:

.

3.7. Относительное равновесие несжимаемой жидкости

Состояние жидкости, когда она находится в покое относительно стенок сосуда, движущегося с ускорением, называется относительным равновесием. Выбирая систему координат, связанную со стенками сосуда, можно свести данную задачу к статической задаче, решение которой находится с использованием уравнений Эйлера. При переходе в движущуюся систему координат в число действующих массовых сил, в соответствии с принципом Д'Аламбера, необходимо включить силу инерции, плотность распределения которой Fи численно равна ускорению рассматриваемой частицы жидкости а:

.

Знак «–» показывает, что сила инерции направлена противоположно ускорению.

Рассмотрим два характерных случая равновесия жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно, и во вращающемся сосуде.

Равновесие в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением. Рассмотрим сосуд, движущийся по наклонной поверхности АВ с постоянным ускорением а, рис. 2.14.

Рис. 2.14. Равновесие жидкости при прямолинейном
равноускоренном движении

Проекции единичных массовых сил в движущейся системе координат равны

.

С учетом этих соотношений основное дифференциальное уравнение гидростатики примет вид

.

Интегрируя, получим

.

Константа интегрирования С находится из граничных условий: . Подставив граничные условия в, получим

.

Окончательно закон распределения давления в жидкости примет вид

.

Полагая в уравнении р = const, получим уравнение изобарических поверхностей

.

Уравнение представляет собой уравнение семейства плоскостей, параллельных оси z. В частности, уравнение свободной поверхности жидкости получается при р = р0*:

,

или

.

Если движение сосуда происходит только под действием силы тяжести, то j =0. Тогда y = y0 – tg a. То есть в системе координат, связанной с землей поверхность жидкости горизонтальна.

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w, рис. 2.15. Система координат x, y, z связана с вращающимся сосудом.

Рис. 2.15. Равновесие жидкости во вращающемся сосуде

В данном случае массовой силой, кроме силы веса, является центробежная сила инерции

,

где r – радиус рассматриваемой точки жидкости относительно оси вращения; ‑ единичный вектор радиальной (вращающейся) системы координат. Проекции на оси координат результирующих массовых сил равны

.

С учетом дифференциальное уравнение гидростатики запишется в виде

,

которое после интегрирования примет вид

.

Константу интегрирования С найдем из условия: при . Тогда

.

Учитывая, а также то, что , закон распределения давления в жидкости запишем в виде

.

Приравняв в р = р0, получим уравнение свободной поверхности жидкости:

,

которое представляет собой параболу. Следовательно, свободная поверхность вращающейся с постоянной угловой скоростью жидкости – параболоид вращения. Из видно, что дробь представляет собой высоту, на которую поднята над вершиной параболоида точка свободной поверхности, см. рис. 2.15. Таким образом, выражение в скобках представляет собой заглубление h точки М под свободную поверхность, см. рис. 2.15. То есть принимает традиционный вид гидростатического (линейного) распределения давления по глубине, а сама глубина h в данном случае отсчитывается от свободной поверхности .

Уравнение изобарических поверхностей во вращающейся жидкости получится из, если положить р = const:

.

Как видно оно представляет собой параметрическое уравнение семейства параболоидов вращения с осью z.

3.8. Закон Архимеда. Плавание тел

Пусть тело ABDE полностью погружено в жидкость и находится в состоянии покоя рис. 2.16. На тело действует сила тяжести G, приложенная в точке С. Определим суммарную силу, действующую на тело со стороны жидкости.

Воздействие жидкости сводится к одной результирующей вертикальной силе, так как горизонтальная сила равна нулю. Действительно, проекции сил давления на любую из горизонтальных осей равны по величине и противоположны по знаку.

Рис. 2.16. К определению силы Архимеда

Для определения вертикальной составляющей силы выделим вертикальной цилиндрической поверхностью элемент тела, площадь которого в проекции на горизонтальную плоскость равна d Sх. Вертикальная составляющая сил давления на данный элемент равна