Гидрогазодинамика (стр. 5 )

.

Тогда проекция на ось х внешних сил, приложенных к рассматриваемому объему, запишется следующим образом

.

Упрощая это выражение, получим

.

Условие равновесия в проекции на остальные оси будет иметь аналогичный вид

.

Система уравнений, носит название системы уравнений Эйлера. Умножая первое из них на , второе на , а третье на и складывая, получим

.

Трехчлен в левой части представляет собой полный дифференциал давления , поэтому уравнение можно записать и в виде

.

Это уравнение называют основным уравнением статики жидкостей и газов. В общем случае оно содержит две неизвестные функции р и r. Поэтому для решения таких задач статики необходимо еще одно условие. В качестве такого условия используется уравнение состояния рассматриваемой среды. Например, для совершенного газа оно имеет вид

,

а для несжимаемой жидкости

.

3.3. Равновесие несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Применим основное уравнение статики к случаю равновесия несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Имеем

.

Тогда упрощается

.

Интегрируя, получаем

.

Константа интегрирования находится из граничных условий. Например, для сосуда, изображенного на рис. 2.4, в точке А имеем условие: .

Следовательно . Отсюда получим

.

Рис. 2.4. К определению гидростатического напора

Постоянная величина двухчлена, обозначенная в через Н, называется гидростатическим напором.

Уравнение называется основным уравнением равновесия несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Это уравнение можно записать и в следующем виде

.

Из уравнения или можно найти давление в любой точке жидкости, если известно давление р в некоторой точке z0. Действительно из имеем

.

Уравнение показывает, что при изменении внешнего давления p0 на некоторую величину на ту же величину изменится давление в каждой точке жидкости. Эта закономерность носит название закона Паскаля.

Уравнение также показывает, что изобарические поверхности p = const, то есть поверхности в жидкости, на которых давление постоянно, имеют уравнение

.

Следовательно, они представляют собой горизонтальные плоскости. Важно также отметить, что форма изобарических поверхностей не зависит от формы объема, в которую заключена жидкость.

Давление, определяемое формулой

,

где h – глубина погружения данной точки под уровень свободной поверхности, на которой давление на свободной поверхности равно давлению окружающей среды p0, называется абсолютным давлением. Абсолютное давление состоит из двух частей: давления окружающей среды p0, которое по закону Паскаля передается всем точкам жидкости и из давления , которое обусловлено влиянием веса столба жидкости. Оно называется избыточным. Для обозначения этого давления используются также термины манометрическое или пьезометрическое давление. Таким образом, абсолютное давление равно внешнему давлению плюс избыточное

.

Абсолютное давление не может быть меньше нуля, так как жидкость не выдерживает растягивающих напряжений. Избыточное же давление может быть как положительным, так и отрицательным. Если абсолютное давление меньше внешнего, то . В этом случае разность между внешним и абсолютным давлением называют вакуумом или вакуумметрическим давлением:

.

3.4. Равновесие несжимаемой жидкости в сообщающихся сосудах.
Измерение давления

Рассмотрим случай равновесия двух несмешивающихся жидкостей различной плотности, находящихся в сообщающихся сосудах, рис. 2.5.

Рис. 2.5. Равновесие жидкости в сообщающихся сосудах:
0 – 0 –плоскость отсчета высот; r1 > r2

Давление жидкости на поверхности раздела обозначим через р, тогда, согласно, можем записать

.

Если давления над поверхностями жидкостей равны, то есть, например, р1 = р2 = рат, то

,

или

.

Таким образом, если жидкости в двух сообщающихся сосудах разнородны, то при одинаковых давлениях на свободных поверхностях высоты столбов жидкости над плоскостью раздела обратно пропорциональны их плотностям. Если плотности однородны (r1 = r2), то уровни жидкостей будут находиться на одной и той же высоте z1 = z2.

В приведенных выкладках силы молекулярного взаимодействия жидкости и стенок сосудов не учитываются. В противном случае необходимо вводить поправку на высоту капиллярного подъема (понижения)

,

где q ‑ краевой угол; s ‑ коэффициент поверхностного натяжения; R – радиус сосуда.

На принципах равновесия жидкости в сообщающихся сосудах основано измерение давления. Рассмотрим несколько примеров.

1.  Простейшим прибором для измерения давления является стеклянная трубка, открытая в атмосферу, называемая пьезометром, рис. 2.6.

Для жидкости в пьезометре, в соответствии с можем записать

.

Рис. 2.6. Схема измерения давления пьезометром

Высота называется пьезометрической высотой или пьезометрическим напором. Из видно, что пьезометрический напор равен . Таким образом, пользуясь пьезометром можно определить абсолютное и избыточное давление в точке присоединения трубки пьезометра к сосуду. Для исключения влияния капиллярного давления диаметр трубки пьезометра должен быть не менее 8…10 мм.

2.  Дифференциальные пьезометры служат для измерения разности давлений. Схема такого устройства показана на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Измерение пьезометром разности давлений

Рассмотрим случай, когда жидкости в сосудах одинаковые и требуется определить разность давлений р1 – р2 на одной и той же высоте. Используя основную формулу гидростатики, запишем:

Подобного рода дифференциальный пьезометр будет работать при условии, что . В противном случае равновесие жидкости нарушится. Для исключения этого в верхней части пьезометра устанавливают краник для подкачки воздуха и повышения давления.

3.  Применение микроманометров для измерения малых давлений (разрежений, разности давлений), рис. 2.8.

Рис. 2.8. Схема микроманометра

Трубка микроманометра наклонена к горизонту. Для определения измеряют расстояние l, на которое переместится столбик жидкости, что позволяет повысить чувствительность прибора и точность измерений. Из-за существенной разницы в площадях поперечных сечений трубки и бачка, изменение уровня в бачке можно не учитывать. В этом случае