Гидрогазодинамика (стр. 16 )

Условия подобия могут быть распространены и на любые физические явления, например, на поле скоростей при движении двух потоков жидкости ‑ кинематическое подобие, на поле сил, вызывающих это движение – динамическое подобие, на поле температур и тепловых потоков – тепловое подобие и т. д.

В общем случае понятие подобия физических явлений сводится к следующим положениям:

1.  Подобными могут быть физические явления только качественно одинаковые, то есть такие, которые аналитически описываются уравнениями, одинаковыми как по форме, так и по содержанию.

2.  Обязательным условием подобия физических процессов является геометрическое подобие.

3.  При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Координаты сходственных точек, представленные в относительном виде (то есть поделенные на соответствующие масштабы), одинаковы.

4.  Наконец, подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина первого явления пропорциональна однородной с ней величине второго явления, то есть

.

Коэффициент пропорциональности называется константой (постоянной) подобия. При этом каждая физическая величина j имеет свою постоянную подобия , численно отличную от других. Ни от координат, ни от времени не зависит.

Таким образом, подобие двух явлений означает подобие полей одноименных физических величин*, определяющих эти явления.

Совокупность параметров, определяющих какой-либо физический процесс, можно рассматривать, как решение соответствующих уравнений, описывающих его. Но если в подобных процессах безразмерные значения однородных параметров в сходственных точках одинаковы, то и сами уравнения, будучи представленными в относительном виде, должны быть одинаковы.

Гидродинамическое подобие. Рассмотрим подобие гидродинамических процессов на примере стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости. Как известно, такое движение описывается уравнением Бернулли, связывающим параметры жидкости в двух точках области течения 1 и 2:

.

Введем масштабы физических параметров процесса и геометрический масштаб z0. Тогда размерные величины рассматриваемого процесса могут быть представлены следующим образом

,

где волной обозначены относительные переменные, то есть и т. д. Подставив в, получим

.

Разделив обе части этого уравнения на , получим

.

Введем обозначения

,

,

называемые в теории гидродинамического подобия числами Фруда и Эйлера.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид

.

Из видно, что два гидродинамических процесса в несжимаемой жидкости, протекающих при различных условиях (например, при различном уровне давления, жидкость в этих процессах может иметь различную плотность и т. д.), будут подобными, если в этих процессах будут одинаковыми числа Эйлера и Фруда*.

В общем случае, более сложном, чем рассмотренный, физический процесс описывается системой дифференциальных уравнений, для однозначного решения которых задаются граничные и начальные условия, называемые условиями однозначности. Поэтому в подобных процессах должны быть одинаковыми не только обезразмеренные системы уравнений, но и представленные в относительном виде условия однозначности. При приведении к безразмерному виду числа подобия будут входить не только в сами уравнения, но и в условия однозначности. При этом нетрудно понять, что равенство в двух процессах чисел подобия, входящих именно в условия однозначности, гарантируют равенство решений обезразмеренных уравнений для этих двух процессов.

Таким образом, особо выделяются числа подобия, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Они называются определяющими или критериями подобия. Инвариантность (одинаковость) определяющих чисел подобия является условием, которое должно быть выполнено для достижения подобия.

Итак, основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем.

Первая теорема подобия формулируется так: подобные между собой процессы имеют одинаковые числа подобия.

Вторая теорема подобия гласит: зависимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия :

.

Зависимость вида называется уравнением подобия.

Третья теорема подобия формулируется так: подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, а числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, имеют одинаковое численное значение.

Теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, сформировать уравнения подобия*, которые будут справедливы, для всех подобных между собой процессов.

Такие обобщенные зависимости, однако, ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений. Всегда нужно помнить, что общего решения теория подобия не дает, она позволяет лишь обобщить опытные данные.

5.1.2. Основные положения теории анализа размерностей

Иногда изучаемое явление настолько сложно, что для него невозможно составить полную систему уравнений. В этом случае общий вид условий подобия может быть найден при помощи метода анализа размерностей. Рассмотрим основные понятия данной теории.

Размерными называются величины, численные значения которых зависят от системы единиц измерения. Примеры размерных величин: длина, время, энергия, момент силы и т. д.

Безразмерными называются величины, численные значения которых не зависят от системы единиц измерения. Примеры безразмерных величин: отношение двух длин, геометрические углы*, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и т. д.

Единицы измерения бывают основными и производными. Производные единицы выражаются определенным образом через основные. Именно наличие производных единиц позволяет компоновать безразмерные комплексы ‑ числа подобия. Количество и вид основных единиц зависит от системы единиц измерения. В системе СИ за основные единицы измерения приняты: l ‑ метр, t – секунда, m ‑ килограмм-массы, k – градус Кельвина и т. д.

Размерностью называется выражение производной единицы измерения через основные. Размерность будем записывать символически в виде формулы, в которой символ единицы массы обозначается М, символ единицы длины – L, символ единицы времени – Т, символ единицы температуры – K. Размерность физической величины обозначается символом этой величины, заключенным в квадратные скобки. Например, для размерности силы F будем иметь

.

Теория размерностей основывается на следующих положениях.

1.  Любое математическое уравнение, описывающее изучаемый процесс, должно быть однородным по размерностям, то есть физические величины должны входить в это уравнение таким образом, чтобы все члены уравнения имели одинаковую размерность.

2.  Производные единицы измерения выражаются через основные в виде их произведения в соответствующих степенях, то есть в виде зависимости типа.

В теории размерностей доказывается следующая основная теорема, которая называется p-теоремой.

Выражающая некоторый физический закон функциональная связь между размерными величинами , из которых k величин имеют независимые размерности, может быть представлена в виде связи между безразмерными комплексами.

Применим эту теорему к задаче определения потерь давления на трение при течении жидкости по трубопроводу.

Из общих физических представлений можно предположить, что величина потерь давления на трение Dр является функцией скорости течения w, плотности r, коэффициента динамической вязкости m, жидкости, диаметра d, длины l трубопровода и средней высоты бугорков шероховатости его стенок k**. То есть имеем следующую функциональную зависимость