Гидрогазодинамика (стр. 14 )

Приведенная скорость l, как и число М, считается критерием подобия для газовых течений, характеризующим степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию. Между ними существует однозначная взаимосвязь, которую можно получить путем следующих преобразований

.

Обратное преобразование находится аналогично и выражается зависимостью

.

5. Одномерные течения жидкости и газа

5.1. Одномерная модель реальных потоков

Если все параметры движущегося потока зависят только от одной, в общем случае криволинейной координаты, то такой поток называют одномерным. Простейшим примером одномерного потока является течение в элементарной трубке тока, благодаря малой площади поперечного сечения которой скорости течения и другие параметры среды распределены однородно в пределах каждого сечения.

Хотя реальные потоки конченых размеров, строго говоря, не могут считаться одномерными, но некоторые из них могут быть сведены к одномерной модели. Так, например, при течении вязкой жидкости в трубе или в канале между двумя параллельными стенками имеет место неоднородное распределение скорости поперек потока, но эта неоднородность зачастую бывает несущественна с прикладной точки зрения. Во многих технических задачах достаточно знать среднюю по сечению потока скорость w, которая определяется как среднерасходная скорость

,

где F – площадь живого сечения потока; Q – объемный расход среды через данное сечение; u – местная скорость движения. Тогда, заменив истинные, неоднородно распределенные по сечению скорости их средним значением w, и приняв давление постоянным по живому сечению, мы приходим к одномерной модели потока.

Если стенки канала, содержащего движущуюся среду, не параллельные, то течение становится трехмерным. Однако, если кривизна линий тока в реализующемся течении мала, а также мал угол, образующийся между соседними линиями тока (рис. 4.1), то такой поток можно приближенно считать одномерным. Потоки, удовлетворяющие этим условиям, называют плавно изменяющимися.

Для таких течений с точностью до гидростатической составляющей rgz давление можно считать постоянным в пределах живого сечения. Такая точность оказывается достаточной для большинства практических задач динамики жидкости.

Рис. 4.1. Одномерное приближение плавно изменяющегося течения

5.2. Уравнение Бернулли для одномерного потока
вязкой несжимаемой жидкости

Рассмотрим установившееся движение ограниченного стенками канала плавно изменяющегося потока несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли вдоль каждой линии тока такого течения имеет вид

,

где индексами 1 и 2 отмечены значения параметров среды, относящиеся к сечениям F1 и F2.

Умножим правую и левую часть на соответствующую плотность тока rgu и проинтегрируем полученное уравнение по площади живого сечения потока F1 и F2.

.

Учитывая, что в пределах живого сечения сумму можно считать практически постоянной, последнее уравнение можем записать в виде

,

где ‑ расход жидкости (w – средняя по живому сечению скорость потока).

Введем обозначения

.

Интеграл вида представляет собой кинетическую энергию потока, переносимую в единицу времени через сечение F потока. Величина может быть истолкована, как поток кинетической энергии через то же сечение при постоянной в данном сечении скорости, равной среднерасходной w. Поэтому величина a, выражаемая вторым равенством, представляет собой отношение истинного потока кинетической энергии (при неравномерном распределении скорости по сечению) к потоку кинетической энергии, определенному по среднерасходной скорости. Этот параметр называют коэффициентом Кориолиса. Величина его всегда больше единицы и зависит то распределения скорости в живом сечении. Например, для развитого ламинарного течения в круглой трубе коэффициент Кориолиса a = 2*, а для турбулентного ~ 1,1. При значительной неравномерности скорости, например в криволинейных каналах, он может достигать больших величин.

С учетом введенных обозначений уравнение Бернулли для плавноизменяющегося потока** вязкой несжимаемой жидкости примет вид

.

Или в дифференциальной форме

.

Каждый из членов уравнения имеет размерность давления и представляет собой тот или иной вид удельной (отнесенный к единице объема) энергии потока: rgz – потенциальной энергии массовых сил (тяжести); р ‑ потенциальной энергии упругого состояния (поверхностных сил давления); ‑ кинетической энергии; Dрm – безвозвратные потери механической энергии на преодоления сил вязкого сопротивления, преобразующиеся в теплоту. В целом уравнение описывает закон сохранения механической энергии между сечениями 1 и 2 одномерного плавноизменяющегося потока жидкости.

Давление р называется статическим давлением потока, которое, будучи выраженным в избыточных единицах, равно пьезометрическому давлению, см. раздел 2.4. Сумма называется полным давлением. Полное давление равно давлению потока, заторможенному в рассматриваемой точке пространства без потерь механической энергии. С учетом введенного понятия полного давления, Dр можно рассматривать, как потери полного давления между рассматриваемыми сечениями потока. Составляющая полного давления, соответствующая кинетической энергии потока, называется динамическим давлением .

В технических приложениях широко применяется форма уравнения Бернулли, все члены которого имеют размерность длины. Она получается из путем деления правой и левой части на rg:

.

Составляющие данного уравнения Бернулли имеют следующие наименования. Величину называют гидродинамическим напором, величину ‑ пьезометрическим напором, ‑ скоростным напором, а Dh – потерей напора.

Как видим все члены уравнения имеют размерность длины, которым можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим истечение жидкости из резервуара через трубопровод переменного сечения, рис. 4.2.

Рис. 4.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Выделим в трубопроводе три сечения 1‑1, 2‑2 и 3‑3, в каждом из которых установим трубки Прандтля (для измерения пьезометрического напора) и Пито (для измерения полного напора, то есть суммы пьезометрического и скоростного). Тогда разность показаний трубок Пито и Прандтля есть величина скоростного напора . Рассмотрим показания трубок в каждом сечении.

Сечение 1‑1. Мениск в трубке Пито не достигает уровня воды в резервуаре, так как часть напора будет затрачена на преодоление сил сопротивления при входе в трубопровод.

Сечение 2‑2. Площадь живого сечения F2 меньше F1 , поэтому, в соответствии с уравнением неразрывности, . Разность показаний трубок Пито в первом и во втором сечениях – есть величина потерь напора на преодоление внешних сил сопротивления между этими сечениями .

Сечение 3‑3. Площадь живого сечения F2 меньше F3, поэтому , то есть скоростной напор Нw при движении от второго сечения к третьему падает. За счет этого пьезометрический напор Нп возрастает. Полный же напор (показания трубок Пито) падает, так как между сечениями 2‑2 и 3‑3 имеются потери механической энергии .

Геометрическая трактовка уравнения Бернулли заключается в том, что линия полного напора всегда опускается, так как часть механической энергии потока превращается в тепловую, то есть теряется. При этом сумма всех четырех высот z, Hп, Нw и Dh остается постоянной, так как отражает запас полной энергии потока в начальном сечении.