Гидрогазодинамика (стр. 8 )

,

где hт = h2 – h1 – высота элемента тела.

Интегрируя по площади Sx, получим следующее выражение для вертикальной силы, действующей на тело в целом

,

где Wт – объем тела.

Уравнение выражает закон Архимеда: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая (подъемная) сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объеме тела (или его погруженной части).

Объем вытесненной телом жидкости называется объемным водоизмещением, а ее вес – водоизмещением.

Центр водоизмещения – это центр тяжести вытесненного объема жидкости.

Подъемная сила приложена к смоченной поверхности тела в точке, где эта поверхность пересекается вертикалью, проходящей через центр водоизмещения.

Выражение для подъемной силы Архимеда можно получить и путем следующих простых рассуждений. По закону Паскаля внешнее давление передается всем точкам жидкости без изменения. Следовательно, результирующая сила, действующая на погруженное в жидкость тело и обусловленная действием внешнего давления, будет равна нулю. Таким образом, сила Архимеда обусловлена действием только весового давления. В соответствии с разделом 2.5 на нижнюю часть AED погруженного в воду тела будет действовать сила весового давления Р2, равная весу тела давления AEDNM, направленная снизу-вверх, рис. 2.17. На верхнюю же часть ABD тела действует сила весового давления Р1, равная весу тела давления ABDNM и направленная сверху-вниз. Результирующая сила будет равна разности весов тел давления и, следовательно, она равна весу жидкости в объеме тела W.

Рис. 2.17. Обозначение тел давления при определении силы Архимеда.

Плаванье тел. На законе Архимеда основана теория плаванья тел. Погруженное в жидкость однородное тело с удельным весом g находится под действием двух сил: силы тяжести тела в пустоте и подъемной сила Архимеда (Wт – объем тела; ‑ удельный вес тела и жидкости соответственно).

Возможны следующие варианты поведения тела в несжимаемой жидкости.

1.  . Так как , то тело тонет.

2.  . Так как , тело будет плавать внутри жидкости, сохраняя безразличное равновесие на любой глубине.

3.  . Так как , то тело всплывает и частично выйдет выше поверхности жидкости на столько, чтобы новая подъемная сила уравновесилась силой веса тела.

Для плавающего на поверхности тела выполняется условие

,

где W ¢ – объем погруженной части тела.

3.9. Остойчивость плавающих сил

Способность тела возвращаться в состояние равновесия после полученного крена называется остойчивостью.

Рассмотрим плавающее тело, имеющее продольную плоскость симметрии, рис. 2.18. Центр тяжести тела расположен в точке С, центр водоизмещения ‑ в точке D0.

Пусть тело накренилось на угол j. Поскольку вес тела не изменился, то останется прежней и величина силы Архимеда РА. Центр водоизмещения при этом переместится в новое положение D1, а подъемная сила будет проходить через нее, оставаясь вертикальной.

Точка пересечения оси координат у с линией действия подъемной силы М называется метацентром.

Так как при плавании тела G < PA, то тело обладает остойчивостью в случае, когда метацентр расположен выше центра тяжести тела.

Рис. 2.18. Остойчивость плавающего тела

Замкнутая плоская линия пересечения плавающего тела с поверхностью жидкости называется ватерлинией. Часть плоскости, ограниченная ватерлинией называется площадью плавания (площадью грузовой ватерлинии). Расстояние RM называется метацентрическим радиусом, hM – метацентрической высотой. Величина hM считается положительной, если метацентр М расположен выше центра тяжести С.

Таким образом, тело обладает остойчивостью, если hM > 0.

3.10. Равновесие газа в поле силы тяжести

В отличие от жидкости плотность газа при рассмотрении большинства задач статики и динамики не может считаться постоянной. Поэтому основное уравнение статики для рассматриваемого случая (ах = ау = 0, аz = – g, r ¹ const) мы должны записать в следующем виде

.

Рассмотрим два случая изменения параметров состояния газа: по изотермическому и адиабатическому закону. В первом случае, в соответствии с уравнением состояния, имеем

.

Во втором случае связь между давлением и плотностью имеет вид уравнения адиабаты Пуассона

,

где k – показатель адиабаты, а индексом «0» обозначены начальные параметры.

В обоих случаях плотность газа зависит только от давления. Сплошная среда, плотность которой зависит только от давления, называется баротропной.

Изотермическая атмосфера. Подставив плотность из в и интегрируя, получим

,

.

Как видим, в изотермической атмосфере давление убывает экспоненциально с высотой z. При z ® ¥ давление стремится к нулю. То есть высота изотермической атмосферы бесконечна.

Адиабатическая атмосфера. Проделав операции, аналогичные рассмотренному выше случаю, получим

,

,

Учитывая, что , последнее выражение можем записать в виде

или

или, используя уравнение состояния,

.

Из видно, что температура адиабатической атмосферы убывает с высотой. Найдем ее максимальную высоту, то есть высоту, при которой T = 0. Пусть Т0 = 289 К, R = 287 Дж/кг К, z0 = 0, k = 1,4. Подставив эти данные в, получим Н = z-z0 = 29592 м. То есть высота адиабатической атмосферы ограничена.

4. Основы кинематики и динамики жидкости и газа

4.1. Основные понятия и определения кинематики жидкости и газа

Движение жидкости может быть разделено на два основных вида ‑ установившееся (стационарное) и неустановившееся (нестационарное). Движение называется установившимся, если скорости частиц жидкости, а также и другие ее параметры течения в одной и той же точке пространства не меняются со временем. Движение, не удовлетворяющее данному определению, называется неустановившимся*.

Линии тока. Наглядное представление о поле скорости можно получить, если построить векторные линии, называемые линиями тока. Линией тока называется кривая, касательная к которой в каждой точке в рассматриваемый момент времени совпадает с вектором скорости. То есть линию тока «вычерчивают» различные частицы жидкости. Уравнение лини тока можно получить, если записать условие коллинеарности отрезка дуги линии тока d s = {d x, d y, d z} и вектора скорости u= {ux, uy, uz}, то есть условие пропорциональности соответствующих проекций векторов:

.

Соотношение, состоящее из двух независимых дифференциальных уравнений**, определяет форму линий тока. Если поле скорости нестационарно, то есть проекции скорости зависят от времени, то и форма линии тока переменна по времени t, которое в данном случае рассматривается, как параметр.

В отличие от линии тока траектория жидкой частицы – это линия, касательная к которой совпадает с вектором скорости данной наблюдаемой частицы в последовательные моменты времени. Каждой индивидуальной частицей в общем случае «вычерчивается» своя траектория, отличная от других. При стационарном течении линии тока и траектории совпадают.

Линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности***. Действительно, предположим обратное: две линии тока пересеклись в точке С, рис. 3.1. Тогда векторы u1 и u2 следует рассматривать, как составляющие результирующего вектора u в этой точке.