Гидрогазодинамика (стр. 9 )

Рис. 3.1. К доказательству невозможности пересечения линий тока

Однако данный вектор u не касателен ни к линии тока NC, ни к MC, а значит ни одна из них не является линией тока, что противоречит исходному условию.

Трубка тока. Выберем в жидкости замкнутый контур l и проведем через каждую его точку линию тока. Получим трубчатую поверхность, рис. 3.2, которую назовем трубкой тока.

а)	б)
Рис. 3.2. К определению трубки тока

Если контур l мал, то трубка тока называется элементарной. В пределах поперечного сечение трубки тока распределение скоростей принимают равномерным. Очевидно, что через боковую поверхность трубки тока жидкость не протекает, так как вектора скорости касательны к ней.

Совокупность частиц, ограниченных элементарной трубкой тока, называют элементарной струйкой, а поток конечных размеров рассматривают, как совокупность элементарных струек. Таким образом, приходим к струйной модели течения.

Расход жидкости. Обозначим через d s площадь произвольного поперечного сечения элементарной трубки тока, см. рис. 3.2, б. n – вектор нормали к данной площадке, s – вектор касательной; u – вектор скорости в данном сечении трубки тока. Составим скалярное произведение

,

где un – проекция скорости на нормаль к площадке d s. Это произведение положительно, если вектора n и u образуют острый угол и отрицательно при тупом угле. Следовательно, модуль данного произведения представляет собой объемный расход жидкости через рассматриваемое сечение трубки тока:

.

Если S – площадь произвольного сечения реального потока, то величина

представляет собой объемный расход жидкости через сечение S, а величины

называются массовым расходом элементарной струйки и массовым расходом через поверхность S соответственно.

Режимы движения жидкости и газа. Наблюдения за поведением частиц жидкости при ее движении показывает, что характер движения потока может быть различным в зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и состояния стенок, ограничивающих поток. При определенных условиях частицы движутся упорядоченно, образуя слоистое (или ламинарное*) движение. Пример ламинарного течения при обтекании цилиндра показан на рис. 3.3 (слева). Визуализация производилась с помощью подкрашенной жидкости, вводимой в поток выше по течению.

Рис. 3.3. Примеры ламинарного (слева) и турбулентного (справа) течения жидкости

При других условиях частицы наряду с основным движением беспорядочно перемещаются из слоя в слой, их мгновенные местные скорости резко изменяются по величине и направлению. Слоистая структура разрушается, происходит пульсация параметров, характеризующих поток (перемешивание слоев). Такое движение называют турбулентным**, см. рис. 3.3, где на правой фотографии показана картина течения жидкости за решеткой.

Существование двух режимов движения жидкости было обнаружено в 1839 г. Хагеном. Достаточно полные лабораторные исследования режимов движения и вопрос их влияния на характер зависимости потерь напора от скорости потока впервые исследовал английский физик О. Рейнольдс (1883 г.). Рейнольдс установил, что режим движения жидкости определяется безразмерным параметром

,

где r ‑ плотность движущейся среды; u, m ‑ ее скорость и коэффициент динамической вязкости соответственно; d – характерный размер области течения***. Данный параметр назван числом Рейнольдса.

4.2. Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности выражает собой закон сохранения массы применительно к движущейся жидкости. При этом считается, что сплошность жидкости не нарушается, то есть жидкость движется без образования пустот, не разрываясь.

Выделим в трубке тока сечениями 1 и 2 некоторый объем жидкости, рис. 3.4, имеющий массу m. Применим к этому объему закон сохранения массы, который при отсутствии в нем внутренних источников или стоков может быть сформулирован следующим образом: изменение массы жидкости в выделенном объеме равно разности притока жидкости в объем и оттока ее из объема.

Рис. 3.4. К выводу уравнения неразрывности

Из определения трубки тока следует, что жидкость не пересекает ее боковую поверхность. Следовательно, приток жидкости в выделенный объем будет происходить только через сечение 1, а отток – через сечение 2. Тогда считая, для простоты, сечения ортогональными векторам скорости, можем записать

.

При установившемся (стационарном) течении масса жидкости m остается неизменной, то есть d m/d t = 0. Тогда имеем

.

Таким образом, при стационарном течении уравнение неразрывности представляет собой условие постоянства массового расхода жидкости вдоль трубки тока. Для несжимаемой жидкости, то есть при r = const, принимает вид

и описывает условие сохранения вдоль трубки тока объемного расхода.

Если рассматривается течение в канале с поперечным сечением конечного размера, то суммируя элементарные расходы по всем трубкам тока в каждом сечении, можем записать

,

а для несжимаемой жидкости

.

Следовательно, при стационарном течении жидкости в канале ее расход в каждом сечении канала одинаков.

4.3. Уравнение Бернулли для трубки тока

Рассмотрим стационарное течение жидкости в трубке тока, в которой двумя сечениями выделим элементарный объем, рис. 3.5. Будем считать, что сечения располагаются настолько близко друг и другу, что кривизной осевой линии трубки тока можно пренебречь. Применим к этому объему закон сохранения количества движения, который применительно к жидкой сплошной среде можно сформулировать следующим образом: изменение количества движения в выделенном объеме жидкости равно импульсу внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным соответственно в объеме и на ограничивающей его поверхности:

.

Будем рассматривать уравнение сохранения количества движения в проекции на ось трубки тока Оl, (см. рис. 3.5). Тогда в проекциях уравнение можно записать следующим образом

.

Рис. 3.5. К выводу уравнения Бернулли

За промежуток времени d t масса жидкости, первоначально содержащаяся в этом объеме, переместится из положения 1–2 в положение 1¢–2¢. При этом количество движения жидкости, содержащейся между сечениями 1¢ и 2, не изменится, так как течение стационарное и гидродинамические параметры в каждой точке объема неизменны. Следовательно, изменение количества движения жидкости, содержащейся в выделенном объеме, будет равно разности количеств движения элементарных масс жидкости и . Так как при стационарном течении массовый расход жидкости в каждом сечении трубки тока одинаков, то . Следовательно, изменение количества движения можно представить в виде

.

Будем считать, что из объемных сил имеется только сила тяжести. Тогда, учитывая, что масса выделенного объема жидкости неизменна, можем записать

,

где gl – проекция ускорения свободного падения на ость трубки тока.

К внешним поверхностным силам относятся силы давления и силы вязкого сопротивления . Рассмотрим первую из них.

Проекция на ось трубки тока сил давления, действующих на сечения 1 и 2, запишутся, как