Теплотехника (стр. 12 )

2. Основы теории массообмена

2.1. Общие понятия и определения

Под массообменом понимают самопроизвольный необратимый процесс переноса массы определенного компонента в пространстве с неоднородным полем химического потенциала этого компонента. В простейшем случае неоднородным является поле концентрацией или парциального давления, при этом процесс массообмена имеет определенную направленность.

Например, в смеси с одинаковой температурой и давлением процесс массопереноса (диффузии) направлен к выравниванию концентраций в системе. При этом происходит перенос вещества из области с большей концентрацией.

Диффузия – это перенос вещества молекулярным или молярным путем.

Молекулярная диффузия – это перенос вещества в смеси, обусловленный тепловым движением микрочастиц. Молярный перенос неразрывно связан с макродвижением самой смеси, т. е. конвекцией. Массообмен, обусловленный совместным действием молярной диффузии и конвективного переноса вещества, называется конвективным массообменом.

Потоком массы называется количество вещества, проходящего в единицу времени через данную поверхность в направлении нормали к ней. Он обозначается через I и измеряется в кг/с. Плотность потока массы j – это поток массы, проходящий через единицу поверхности:

(2.1)

Причиной возникновения потока массы являются:

-  неравномерное распределение концентрации вещества, называемое концентрационной диффузией;

-  неоднородное температурное поле обуславливает термодиффузию;

-  неоднородное поле давления определяет возникновение бародиффзузии.

Если в двухкомпонентной смеси отсутствует макродвижение, а температура и давление остаются постоянными по всему объему системы, то плотность потока массы одного из компонентов, обусловленного молекулярной диффузией, определяется законом Фика:

(2.2)

где D – коэффициент диффузии, м2/с;

сi – местная концентрация данного компонента, равная отношению массы компонента к объему смеси, кг/м3;

- градиент концентрации (вектор), кг/м4.

В рассматриваемом случае движущей силой является градиент концентрации.

Знак „ -” в выражении (2.2) обусловлен тем, что плотность потока массы направлена в сторону убывания концентрации, а градиент концентрации – в противоположную сторону.

Закон Фика описывает концентрационную диффузию, в результате которой переносится основная доля вещества.

Перенос вещества осуществляется также под действием градиента температур. Такой перенос вещества называется термодиффузией (эффект Соре). Молекулы компоненты с большей массой стремятся перейти в область низких температур. При одинаковых массах молекул, то в холодную область стремятся перейти более крупные молекулы.

В результате термодиффузии возникает градиент концентрации.

Суммарная плотность потока массы i-го компонента за счет молекулярного переноса с учетом концентрационной диффузии, термо - и бародиффузии составит:

jМ. Д.=-r(DÑmi+ ÑТ+ Ñр), (2.3)

где - плотность смеси;

mi= - относительная массовая концентрация i-го компонента;

- коэффициент термодиффузии;

р – давление смеси;

Ñ= - оператор Гамильтона.

Основную роль в массообмене играет концентрационная диффузия и ее следует учитывать в первую очередь.

Доля термодиффузии в общем потоке незначительна и только при больших градиентах температуры ощущается ее влияние.

Бародиффузия проявляется при больших перепадах давления, что редко встречается в процессах тепломассообмена.

Уравнение (2.3) переноса массы справедливо для неподвижной среды, когда массообмен осуществляется только молекулярным путем.

При движении среды, кроме молекулярной диффузии будет происходить перенос вещества конвекцией. Составляющая потока массы, вызванная конвекцией, будет равна:

(2.4)

где - скорость перемещения какого-либо объема смеси.

Суммарная плотность потока массы, обусловленного молекулярным и конвективным переносами, составит:

(2.5)

2.2. Уравнение массообмена для бинарной смеси

Выведем дифференциальное уравнение, описывающие распределение определенного компонента в движущейся бинарной смеси, при следующих условиях:

-  жидкость несжимаема и внутри нее отсутствуют источники массы;

-  пренебрегаем термо - и бародиффузией.

Выделим в смеси неподвижный элементарный куб с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.1).

Запишем уравнение баланса массы, считая, что D и постоянны.

Вдоль оси х в элементарный кубик за время вносится масса i-го компонента в количестве и вытекает в количестве .

Разность количества массы i-го компонента, поступившей в направлении оси Ох, найдем из выражения:

.

Аналогичные уравнения можно записать для осей Оу и Оz:

Просуммировав по трем осям, получим, что изменение массы i-го компонента равно:

(2.6)

Так как

то уравнение (2.6) можно записать в виде:

(2.7)

где - относительная массовая концентрация i-го компонента. Полагая, что масса i-го компонента переносится только концентрационной диффузией и конвекцией, получаем:

(2.8)

После дифференцирования уравнений (2.8), получим:

(2.9)

Просуммировав уравнения (2.9) и решая совместно с уравнением (2.7), получим:

(2.10)

Для несжимаемой жидкости (r=const) последний член правой части уравнения (2.10) равен нулю, тогда

(2.11)

Уравнение (2.11) является искомым дифференциальным уравнением массообмена, описывающее распределение массы i-го компонента в движущейся смеси. Это уравнение является уравнением сохранения массы i-го компонента.

В левой части уравнение (2.11) имеет локальную и конвективную составляющую диффузии , в правой части – молекулярную диффузию.

Для установившегося процесса:

=0

Уравнение (2.11) носит название второго закона Фика.

В общем случае D является функцией концентрации, и второй закон Фика имеет вид:

(2.12)

Коэффициент диффузии двух газов можно определить по формуле Больцмана:

(2.13)

где D1 и D2 – коэффициент самодиффузии газов 1 и 2.

n1 и n2 – мольные концентрации компонентов.

Для газов со сходными молекулами, т. е. имеющими почти равные массы и эффективные сечения молекул, Максвелл получил выражение для коэффициента диффузии:

(2.14)

где - средняя арифметическая скорость молекул газа, равная при нормальных условиях около 104-105 см/с;

- средняя длина пути свободного пробега молекул, равная при тех же условиях примерно 10-5 см.