Теплотехника (стр. 5 )

Давление следует задавать в начальном сечении х=0; 0 ≤ y ≤ +∞.

Система дифференциальных уравнений (1.45)-(1.48) совместно с условиями однозначности представляет собой формулировку краевой задачи конвективного теплообмена.

Следует отметить, что общее решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получить не удается по причине больших математических трудностей.

Решение поставленной задачи можно достичь иным путем. На основе постановки краевой задачи можно утверждать, что поле скорости и поле давления есть результат решения уравнений гидродинамики (1.46)-(1.48), так как рассматривается несжимаемая жидкость, физические свойства которой не зависят от температуры, т. е.:

(1.49)

Давление можно отсчитывать от заданного значения в начальном сечении, т. е. в уравнениях движения можно заменить производные равными им производными . Тогда для поля давления имеем выражение:

(1.50)

Поскольку поле температуры зависит от функций , в правую часть функциональной зависимости для температуры, кроме коэффициента из уравнения энергии и соответствующих параметров из условий однозначности, войдут величины из правой части уравнения (1.49). Температуру можно отсчитывать от уровня температуры стенки tC, так как при замене величины t в уравнении энергии (1.45) величиной t-tC оно не изменяется. Тогда, для температурного поля имеем следующую функциональную зависимость:

(1.51)

В уравнении (1.51) можно выделить три группы величин:

• координаты (аргументы функции t) x и y;

• постоянные коэффициенты дифференциальных уравнений – заданные величины, не относящиеся ни к функциям, ни к аргументам, - , в данном случае можно использовать модуль вектора ускорения свободного падения g;

• параметры условий однозначности, представляющие собой значения искомых функций при определенных значениях координат – tЖ-tC, .

Конкретный вид функциональной зависимости (1.51) для температуры не известен и включает девять переменных величин. Следует упростить уравнение (1.51) путем уменьшения переменных величин, от которых зависит температура.

В уравнениях движения (1.46) и (1.47) имеем три постоянных коэффициента. Можно разделить уравнение движения на один из них. Тогда получим два коэффициента, что приведет к уменьшению величин второй группы с четырех до трех. Кроме того, параметры условий однозначности можно выбрать в качестве масштабов измерения искомых функций и координат x и y. Эта операция имеет наибольшую ценность: замена обычных единиц измерения параметрами граничных условий позволяет полностью исключить эти параметры из правой части зависимости (1.51).

Таким образом, после масштабных преобразований число переменных в правой части уравнения (1.51) должно уменьшиться с девяти до пяти.

В качестве масштаба для координаты X выберем величину , тогда .Изменение безразмерной координаты в интервале: 0 ≤ X ≤ 1.

Масштабом для координаты у, также выберем величину , .

Масштабом для температуры (tЖ-tC), для скорости , для давления служит динамическое давление .

В результате преобразований имеем следующие безразмерные величины:

(1.52)

Заменим размерные переменные в уравнениях (1.45)-(1.48) безразмерными переменными, согласно выражению (1.52). При этом постоянные масштабы необходимо выносить за знак производной. Например, первое слагаемое в левой части уравнения энергии преобразуется следующим образом:

Окончательно уравнение энергии в безразмерном виде представляется следующим образом:

(1.53)

Безразмерный комплекс в левой части уравнения составлен из величин, входящих в условия однозначности и, следовательно, выражающих особенности рассматриваемого процесса.

Физический смысл этого комплекса можно раскрыть, если разделить конвективный члене уравнения энергии на составляющую, учитывающую перенос теплоты путем теплопроводности.

,

где - температуропроводность, м2/с.

Таким образом, рассматриваемый комплекс отражает соотношение интенсивности конвективного переноса теплоты и переноса теплоты путем теплопроводности и называется критерием Пекле:

(1.54)

Уравнение движения в проекции на ось Ох, приведенное к безразмерной форме с использованием (1.52), имеет следующий вид:

или

(1.55)

В уравнении (1.55) имеется известное из основ гидродинамики число Рейнольдса:

(1.56)

Первое слагаемое в правой части уравнения (1.55) можно выразить в виде:

(1.57)

Левый сомножитель этого выражения представляет собой число Галилея:

(1.58)

Критерий Галилея отражает соотношение сил тяжести и сил вязкого трения для медленно текущих потоков, например, пленка жидкости, стекающая вниз по вертикальной стенке. Аналогичные критерии можно получить из уравнения движения в проекции на ость Оу.

Система уравнений в безразмерном виде может быть представлена следующим образом:

(1.59)

(1.60)

Аналогичное уравнение находится для проекции уравнения движения на ось Оу.

Уравнение сплошности не содержит никаких комплексов:

(1.61)

Граничные условия в безразмерном виде:

• на поверхности стенки (V=0, 0 ≤ х ≤ 1) (1.62)

• на бесконечном удалении от стенки (V→ ∞, 0 ≤ х ≤ 1)

(1.63)

Уравнения (1.59)-(1.61) с граничными условиями (1.62) и (1.63) представляют собой постановку краевой задачи конвективного теплообмена в безразмерном виде.

Общий вид решения такой задачи для температурного поля дается уравнением:

(1.64)

В уравнении (1.64) в правой части число величин равно пяти вместо девяти в размерном выражении. Исключены один из коэффициентов уравнения движения и три параметра в граничных условиях как масштабные величины, численно равные единице в безразмерной форме.

Применение тех или иных критериев зависит от условий теплообмена. Так, если для жидкости с вязкостью μ и плотностью скорость потока велика, то велико и число Рейнольдса, а, следовательно, комплекс мал и может быть исключен из уравнения движения. Эта ситуация наблюдается при вынужденной конвекции, тогда:

(1.65)

Критерий Пекле может быть представлен в виде двух сомножителей:

, (1.66)

где Pr= - критерий Прандтля.

Он представляет собой безразмерный комплексный теплофизический параметр вещества (капельной жидкости или газа).

Учитывая, что и динамическая вязкость , запишем в виде: