Курс лекций по теоретической механике (стр. 10 )

(2.94)

или, с учетом свойств пропорции

(2.95)

Учитывая значения и имеем

(2.96)

и

(2.97)

Итак, и в этом случае результирующее движение является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси cc'.

Полученный результат показывает, что векторы угловых скоростей при вращении вокруг параллельных осей складываются, если направления вращения совпадают и вычитаются, если они противоположны.

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Вращение тела вокруг пересекающихся осей показано на рис. 2.25. Очевидно, что скорость точки О пересечения осей, как лежащей одновременно на обеих осях, равна нулю. Следовательно, результирующее движение тела 1 является движением вокруг точки О и для каждого элементарного промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку О.

Рис. 2.25. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Результирующее движение тела 1 является мгновенным вращением с угловой скоростью

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в одной точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси ОС, проходящей через точку О, причем угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

Мгновенная ось вращения ОС направлена вдоль вектора , то есть по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

С течением времени ось ОС меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то

2.4.6. Винтовое движение твердого тела

Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Aa с угловой скоростью и поступательного со скоростью параллельной оси Aa, то такое движение называется винтовым (рис. 2.26). Ось Аа - ось винта. Когда вектор и проекция вектора на ось винта направлены в одну сторону, то винт будет правым, если в разные стороны, то - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если векторы и постоянны, то шаг винта постоянен. Если время одного оборота Т, то и . Откуда

(2.98)

Рис. 2.26. Схема винтового движения тела

Скорость точки М направлена по касательной к винтовой линии. Она складывается из относительной и переносной скоростей. Так как при этом то

(2.99)

Если цилиндрическую поверхность винта разрезать вдоль образующей bb' и развернуть, то винтовая линия обратится в прямую с углом наклона к основанию цилиндра . При этом

2.4.7. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Техника имеет достаточно много деталей, движущихся по законам плоскопараллельного движения. Установлено, что такие же движения совершают и некоторые элементарные частицы. Фотон, например, представляет собой локализованное в пространстве электромагнитное образование, которое имеет плоскость поляризации и движется в этой плоскости плоскопараллельно.

Кинематику всех плоскопараллельных движений удобнее всего рассматривать на примере катящегося колеса или кольца (рис. 2.27).

Рис. 2.27. Схема плоскопараллельного движения кольца

Если при качении кольца по прямой все его точки перемещаются параллельно плоскости П, то движение кольца в этом случае называется плоским или плоскопараллельным.

Закон плоского движения твердого тела

Чтобы найти метод математического описания плоского движения твердого тела, рассмотрим это движение подробнее (рис. 2.27).

Центр кольца совершает поступательное движение со скоростью . Следовательно, уравнения поступательного движения центра кольца имеют вид:

(2.100)

Второе движение кольца – вращательное отностительно центра с угловой скоростью . Эта часть движения описывается уравнением

. (2.101)

Таким образом, плоское (плоскопараллельное) движение кольца описывается тремя уравнениями (2.100), (2.101). Два первых описывают поступательное движение, а третье – вращательное.

Таким образом, плоское движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного движения одной из его точек, например, точки , взятой за полюс, и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости движения (плоскости П). Следовательно, закон плоского движения тела определится тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела. Поскольку все точки тела в поступательном движении движутся с одной и той же скоростью, то любую точку тела можно брать в качестве полюса. Однако, при решении конкретных задач в качестве полюса выбирают ту точку, которая приводит к получению простых уравнений движения. Нетрудно видеть, что при качении кольца такими точками являются точка или точка () касания кольца с прямой, по которой оно катится.

2.4.8. Скорости и ускорения точки катящегося кольца

Начнём с самого простого случая. Составим уравнения движения точки , расположенной на самом кольце для случая, когда кольцо движется без буксования и скольжения. В этом случае поступательная скорость кольца будет равна по модулю окружной скорости , а в точке их векторы будут направлены в противоположные стороны. Скорость точки в момент совпадения с точкой будет равна нулю, поэтому эту точку называют мгновенным центром вращения.

Конечно, точку можно взять в качестве полюса, однако уравнения движения точки оказываются проще, если в качестве полюса взять центр кольца – точку и учесть, что , то из рис. 2.27 имеем: