Курс лекций по теоретической механике (стр. 6 )

Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении подвижной сиситемы отсчета

Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей .

Из векторного треугольника (рис. 2.12) имеем

. (2.45)

Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы также переменные величины.

(2.46)

Рис. 2.12. К описанию сложного движения точки при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Обратим внимание на уравнение (2.46). Оно представляет собой сложную функцию с независимыми переменными которые являются функциями времени . Поэтому при дифференцировании уравнения (2.46) необходимо определять частные производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать функцию суммой переменных, зависимых от и определять не частные, а обычные производные.

После дифференцирования уравнения (2.46) с учетом того факта, что в этом случае - величины также переменные, имеем

(2.47)

В этой формуле

. (2.48)

Переносную скорость движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета, и производные от орт , фиксирующие вращение этой системы в пространстве

(2.49)

Производные по времени от координат подвижной системы отсчета дают относительную скорость .

(2.50)

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.47), имеем теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении

подвижной системы отсчета

Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений

. (2.51)

Учитывая, что и - величины в этом случае переменные, и дифференцируя уравнение (2.47) по времени второй раз последовательно: вначале переменные , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные , которые характеризуют относительное движение, имеем

(2.52)

В этой формуле:

; (2.53)

(2.54)

(2.55)

. (2.56)

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.52), окончательно получим

(2.51)

.

Здесь: - ускорение, установленное французким профессором механиком Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.

Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении

(2.57)

для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета , важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие:

(2.58)

В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же

, (2.59)

соответствуют вектору относительной скорости точки . Учитывая это и опуская преобразования в скобке выражения (2.57), можем записать его так

(2.60)

Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости (ввиду того, что орты , входящие в выражение (2.57), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости точки .

2.3.11. Определение модуля и направления кориолисова ускорения

(2.61)

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

(2.62)

Если то

(2.63)

Для определения направления вектора кориолисова ускорения надо спроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого вращения на . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора (рис. 2.12, 2.13, 2.14).

Рис. 2.13. К определению направления вектора

кориолисова ускорения при движении точки в пространстве

Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то и формула (2.63) становится такой