Курс лекций по теоретической механике (стр. 7 )

(2.64)

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. - переносное движение поступательно или когда в данный момент

2. - относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда или , то есть когда вектор параллелен вектору .

Рис. 2.14. Примеры определения направления вектора для точки

2.4. Кинематика твердого тела

В кинематике рассматриваются следующие виды движения твердого тела:

- поступательное движение;

- вращательное движение;

- плоское или плоскопараллельное движение;

-движение твердого тела относительно неподвижной точки;

- движение свободного твердого тела;

Основные задачи кинематики твердого тела

1. Установление математических способов задания движения твердого тела по отношению к выбранной системе координат.

2. Установление кинематических характеристик тела в целом и отдельных его точек при известных уравнениях движения.

Рассмотрим вначале простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное.

2.4.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая (например, AB), связанная с этим телом, остается параллельной своему первоначальному положению за все время движения твердого тела (рис. 2.15).

Простейшим примером поступательного движения твердого тела является прямолинейное движение. В общем случае при поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.

В примерах, приведенных на рис. 2.16, прямая , связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению, а точки тела описывают окружности (движутся по окружностям).

Рис. 2.15. Схема поступательного движения тела

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой.

Рис. 2.16. Примеры поступательного движения

а) - колесо обозрения; б) - соломотряс комбайна; в) – спарник

ТЕОРЕМА. При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый данный момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рис. 2.17. Схема к определению скоростей и ускорений точек

поступательно движущегося тела

Пусть положение точек и тела в момент времени определяется радиусами - векторами и (рис. 2.17). Проведем вектор , соединяющий эти точки, тогда

(2.65)

Так как тело абсолютно твердое, то вследствии постоянства расстояния между точками тела.

По определению поступательного движения, вектор не меняет своего модуля и направления с течением времени. Следовательно, при наложении вектора на вектор траектории всех точек прямой окажутся одинаковые.

Скорости и ускорения точек поступательно движущегося тела

Из рис. 2.17 и уравнения после дифференцирования по времени имеем

(2.66)

но , поэтому и

. (2.67)

Поскольку:

; ,

то следовательно, скорости любых точек тела при поступательном движении одинаковы в каждый данный момент времени.

Учитывая, что вектор постоянен, и дифференцируя ис­ходные уравнения (2.67) второй раз, имеем:

Можем обозначить:

или

.

Следовательно, ускорения точек и поступательно движущегося тела также одинаковы. Так как точки и были выбраны произвольно, то и другие точки имеют такие же скорости и ускорения.

Следствия теоремы

1. Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки.

2. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела при его поступательном движении.

3. Понятия скорость и ускорение всего тела имеют смысл только при поступательном движении.

4. Во всех остальных видах движения абсолютно твердого тела (кроме поступательного) его точки движутся с разными скоростями и ускорениями и термины: скорость тела и ускорение тела для всех других видов движения тела теряют смысл, так как разные точки тела имеют в этих случаях разные скорости и ускорения.

2.4.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки тела, называется осью вращения.

При вращении тела вокруг оси угол поворота тела является функцией времени (рис. 2.18), то есть

Рис. 2.18. Схема вращения тела: HП—неподвижная плоскость; ПП—подвижная плоскость.

. (2.68)

Это уравнение—закон вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются:

- угол поворота;

- угловая скорость;

- угловое ускоpение.

Если функция известна, то легко находятся и другие характеристики вращения, а если нет, то её надо найти.

Так как положение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром - углом то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.

Угловая скорость вращения тела характеризует изменение угла его поворота в единицу времени. Пусть за время угол поворота изменится на величину , тогда средняя угловая скорость тела . При угловая скорость тела в данный момент времени