Курс лекций по теоретической механике (стр. 8 )

(2.69)

Угловое ускорение вращения тела характеризует изменение его угловой скорости в единицу времени. Если за время угловая скорость тела изменится на величину , то среднее угловое ускорение будет равно

(2.70)

Переходя к пределу при , получим угловое ускорение в данный момент времени

(2.71)

Размерность углового ускорения рад/.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Угловую скорость и угловое ускорение тела можно представить в виде вектoров и , направленных вдоль оси вращения. Векторы и , можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются скользящими векторами (рис. 2.19). Вектор направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 2.19. Направление векторов и :

а) при ускоренном вращении тела; б) при замедленном вращении тела.

Вектор направлен в сторону вектора , если вращение тела ускоренное. Если векторы и направлены в разные стороны, то тело вращается замедленно.

Равномерное вращение твердого тела

Если , то и вращение тела называется равномерным. Большинство деталей тракторов и сельскохозяйственных машин вращается равномерно при отсутствии нагрузки и неравномерно при наличии нагрузки.

Найдем закон равномерного вращения ().

Учитывая, что или , и интегрируя последнее выражение, запишем

(2.72)

Это - закон вращения тела. Как видно, угол поворота равномерно вращающегося тела равен произведению угловой скорости на время .

В инженерных расчетах скорость вращения тела определяется числом оборотов в минуту. Обозначая число оборотов в минуту через об/мин., найдем зависимость между и За один оборот рад., а за оборотов рад. Следовательно, за 1 минуту (60 сек) Отсюда имеем

(2.73)

Равнопеременное вращение твердого тела

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным (), то вращение называется равнопеременным. Для нахождения закона равнопеременного вращения необходимо знать начальную угловую скорость. . Пусть в момент времени , и , тогда

(2.74)

Далее

(2.75)

После интегрирования последнего уравнения получим

(2.76)

Это математическое выражение закона равнопеременного вращения. Если при этом и имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, а если разные - равнозамедленное.

2.4.3. Скорость и ускорение точек вращающегося тела

При вращении тела точка будет описывать окружность радиуса , плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр лежит на самой оси (рис 2.20).

Если за время тело повернется на угол , то точка опишет элемент дуги , причем тогда

. (2.77)

В отличие от угловой скорости скорость называется линейной или окружной скоростью. Окружная скорость точки равна произведению угловой скорости на расстояние от этой точки до оси вращения. . Направлена эта скорость по касательной к окружности в сторону вращения.

Рис. 2.20. К определению скорости точки вращающегося тела

Так как значение для всех точек тела в данный момент времени одно и то же, то линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от оси вращения (рис. 2.20).

Для определения ускорений точек вращающегося тела воспользуемся известными формулами (2.34), (2.38):

(2.78)

(2.79)

Полное ускорение точки

(2.80)

Отклонение вектора от радиуса окружности, описываемой точкой , определяется углом (рис. 2.21).

Так как в данный момент и для всех точек тела имеют одно и то же значение, то полное ускорение всех точек вращающегося тела пропорционально их расстояниям от оси вращения и образует в данный момент один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей (рис. 2.21)