Курс лекций по теоретической механике (стр. 3 )

2.3.5. Определение скорости точки при векторном способе задания её движения

Пусть точка в момент времени находится в положении , определяемом вектором , а в момент времени - в положении , определяемом вектором (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема к определению скорости точки в момент времени

Если точка движется криволинейно, то вектор направлен по хорде (рис. 2.4), а если она движется прямолинейно вдоль прямой , то из векторного треугольника видно, что

откуда

За время точка переместится в пространстве на величину . Средняя скорость движения точки за время определится по формуле:

(2.15)

Направление векторов и совпадают. В пределе, когда , получим скорость точки в данный момент времени.

(2.16)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса - вектора по времени .

Рис. 2.5. Направление вектора скорости точки

Так как предельным направлением секущей является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис. 2.5.).

2.3.6. Определение ускорения точки при векторном способе задания ее движения

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение модуля и направления вектора скорости точки с течением времени.

Рис. 2.6. Схема к определению ускорения точки

Пусть в момент времени скорость точки равнялась , а в момент времени - . Тогда за время cкорость точки изменится на величину .

Изменение вектора за время - есть среднее ускорение .

(2.17)

Направление векторов и совпадают. В пределе при получим вектор - ускорение точки в данный момент времени.

(2.18)

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса - вектора по времени.

Направление вектора

При прямолинейном движении точки вектор , очевидно, направлен вдоль прямой. При криволинейном движении точки в плоскости вектор , как и вектор (рис. 2.6), направлен в сторону вогнутости кривой.

Если траектория точки не плоская кривая, то направлен в сторону вогнутости кривой и лежит в плоскости П, проходящей через касательную к траектории в точке и прямую, параллельную касательной в соседней точке (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Схема к определению расположения кривой

в соприкасающейся плоскости П

В пределе, когда и плоскость П занимает положение, при котором она не касается, а соприкасается с кривой в точке и поэтому называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в общем случае вектор лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

2.3.7. Определение скорости и ускорения точки

при координатном способе задания её движения

При координатном способе задания движения материальной точки сами координаты являются функциями времени:

(2.19)

Проекции вектора скорости точки на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

(2.20)

Тогда модуль вектора скорости

(2.21)

Углы и между вектором и осями координат OX, OY, OZ определяются с помощью направляющих косинусов: