Курс лекций по теоретической механике (стр. 11 )

(2.102)

Дифференцируя эти уравнения, найдём проекции скорости точки на оси координат.

(2.103)

Учитывая, что при отсутствии буксования и скольжения кольца у точки скорости равны , найдём её абсолютную скорость (рис. 2.27)

. (2.104)

Когда точка оказывается в точке , то и формула (2.104) даёт результат , а когда точка оказывается в точке , то и эта же формула даёт результат

Поскольку плоское движение тела складывается из поступательного движения, при котором все его точки движутся со скоростью полюса , и из вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости П движения, то скорость точки , лежащей на кольце, совершающем плоское движение, складывается геометрически из скорости полюса и скорости точки относительно полюса (рис. 2.27)

. (2.105)

Когда точка оказывается в положении , то, учитывая, что , модуль её абсолютной скорости определится из вектроного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Когда точка окажется в положении точки , то и (рис. 2.27).

Для определения закономерности изменения абсолютного ускорения точки определим его проекции на оси координат. Дифференцируя уравнения (2.103) второй раз, имеем:

(2.106)

В результате абсолютное ускорение точки оказывается постоянным и равным нормальному ускорению

. (2.107)

Если кольцо представить, как контур круга, то возникает возможность составить уравнения движения точки . Для этого обозначим . Тогда окружная скорость точки будет равна (рис. 2.27).

(2.108)

Проекции скорости точки определятся по формулам:

(2.109)

Абсолютная скорость точки определится по формуле

. (2.110)

Дифференцируя уравнения (2.109) ещё раз, найдем проекции ускорения точки на оси координат.

(2.111)

Абсолютное ускорение точки определиться по формуле (2.107).

(2.112)

Если возьмём точку на радиусе и обозначим , то уравнения её движения будут иметь вид (рис. 2.27):

(2.113)

Абсолютная скорость точки запишется так

. (2.114)

Абсолютное ускорение также будет равно нормальному ускорению

(2.115)

Обратим внимание на то, что все точки имеют только нормальную составляющую полного ускорения. Обусловлено это постоянством угловой скрости вращения кольца .

На рис. 2.28 представлены траектории точек .

Рис. 2.28. Траектории движения точек , представленных на рис. 2.27:

М – обыкновенная циклоида; К – укороченная циклоида; N – удлинённая циклоида

Обратим внимание на важные особенности. Радиус кольца равен и точка , лежащая на кольце, описывает обыкновенную циклоиду. Радиус окружности, описываемой точкой , и она описывает укороченную циклоиду, а радиус окружности, описываемой точкой - и эта точка описывает удлинённую циклоиду.

2.4.9. Кинематика игольчатого диска

На рис. 2.29 представлена модель игольчатого диска, используемого для обработки почвы. Если он перемещается по плоской поверхности, то совершает импульсные, скачкообразные движения. У него угловая скорость вращения непостоянна. Переменно и поступательное движение. Мы не будем описывать методику составления уравнений движения этого диска и уравнения движения его точек. Главными из них являются центр диска, обозначим его буквой , и конец иглы, обозначим его буквой и приведём уравнения, описывающие движение точки .

Рис. 2.29. Схема движения игольчатого диска:

- укороченная циклоида; - волнистая циклоида

Если учесть, что процесс деформации почвы способствут плавным переходам центра диска (точки ) от одной дуги к другой, то амплитуда колебаний этой точки будет равна

, (2.116)

а уравнения её движения можно привести к уравнениям укороченной циклоиды:

(2.117)