Курс лекций по теоретической механике (стр. 2 )

(2.4)

(2.5)

где x, y, z - проекции вектора на оси координат; - единичные векторы - орты декартовых осей.

Приведенные уравнения определяют закон движения точки в векторной форме. Так как проекции вектора на оси координат равны координатам его конца, то есть координатам точки , то уравнение (2.5) позволяет перейти от векторного способа задания движения точки к координатному. В уравнении (2.5) и Построив соответствующий вектор с помощью его проекций x, y,z на оси координат, мы таким образом устанавливаем положение движущейся точки в пространстве. Модуль вектора определится по формуле

(2.6)

а направление вектора в пространстве определится через направляющие косинусы (рис. 2.2):

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Таким образом, приведенные формулы позволяют определить в любой момент времени положение конца вектора в пространстве, соответствующее положению точки .

Геометрическое место концов вектора называется годографом этого вектора и представляет собой траекторию движения точки .

Пример. Точка движется по закону: Здесь: Пусть , тогда Таким образом, при координаты точки равны: . По этим координатам определяют положение точки в пространстве в момент времени .

Как видно, преимущество векторного способа задания движения точки заключается в экономности записи (2.4), (2.5), а недостаток в том, что при построении траектории движения приходится переходить к координатам точки (2.1).

2.3.3. Естественный способ задания движения точки

Естественный способом задания движения точки используется в том случае, когда траектория движущейся точки заранее известна, тогда саму траекторию берут в качестве координатной оси и выделяют на ней начало отсчета с положительным (+) и отрицательным (-) направлениями (рис. 2.3).

При естественном способе задания движения точки, ее положение на траектории однозначно определяется дуговой координатой .

Рис. 2.3. Схема к естественному способу задания движения точки

С течением времени положение точки на траектории изменяется, меняется и ее координата . Отсюда видно, что для определения положения точки в любой момент времени надо знать закон изменения ее дуговой координаты , то есть функцию

(2.10)

Эта функция является законом движения точки вдоль траектории. Заметим, что не уравнение траектории, а уравнение закона движения точки вдоль заданной траектории.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: а) траекторию точки; б) начало движения этой точки (начало отсчета на этой траектории; в) закон движения точки вдоль траектории в виде .

Если точка движется прямолинейно вдоль оси , то - закон прямолинейного движения точки.

2.3.4. Переход от координатного способа задания движения точки к естественному

Если движение точки задано координатами: то, используя известную зависимость между дифференциалом дуги и дифференциалами ее проекций , имеем

(2.11)

Это соотношение можем переписать так

(2.12)

Учитывая, что:

,

получим

(2.13)

Считая, что при , , и интегрируя выражение (2.13)

(2.14)

получим закон движения точки:

Пример. Движение точки задано уравнениями:

Найти траекторию точки и закон ее движения по этой траектории. Исключая из уравнений , имеем:

Это - окружность. Дифференцируя уравнения движения точки, имеем:

Далее, подставляя в уравнение (2.14) и , получим:

Окончательно имеем: - закон движения точки по окружности в естественной форме. Точка движется по окружности равномерно.

Скорость и ускорение материальной точки

Скорость и ускорение движения материальной точки - величины векторные. В силу этого у них могут изменяться сразу две характеристики: модуль вектора и направление его в пространстве.

Изменение положения точки или тела в пространстве в единицу времени называется скоростью, а изменение модуля и направления вектора скорости точки тела с течением времени - ускорением.