Курс лекций по теоретической механике (стр. 5 )

Ускорение совпадает с направлением скорости при ускоренном движении (рис. 2.10, а) и противоположно направлению при замедленном движении (рис. 2.10, б).

Таким образом, если движение точки задано естественным способом (известна траектория движения) то, зная закон движения , можно определить модуль вектора и его направление в пространстве в любой момент времени.

2.3.9. Некоторые частные случаи движения точки

Прямолинейное неравномерное движение. В этом случае радиус кривизны траектории точки равен бесконечности , а нормальное и тангенциальное ускорения равны соответственно:

Из этого имеем После двукратного интегрирования этого уравнения получим закон прямолинейного движения точки Таким образом, тангенциальное (касательное) ускорение точки характеризует изменение численной величины ее скорости.

Равномерное прямолинейное движение точки

Нетрудно видеть, что в этом случае: и

Из этого имеем:

Это - единственный вид движения, в котором полное ускорение точки равно нулю.

Равномерное криволинейное движение точки. При равномерном криволинейном движении Следовательно, нормальное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом виде движения точки имеем:

Если при и или то

Далее

.

Если при: то

Окончательно

2.3.10. Сложное движение точки

Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, а вторая движется относительно первой определенным образом (рис. 2.11).

Рис. 2.11. К описанию сложного движения точки

при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Движение точки по отношению к подвижным осям координат называется относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость - относительной скоростью, и ускорение - относительным ускорением.

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета и неизменно связанной с ней точкой по отношению к неподвижной системе является для точки переносным движением.

Скорость точки , неизменно связанной с подвижными осями , называется переносной скоростью , а ускорение - переносным ускорением .

Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета, называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью , а ускорение - абсолютным ускорением .

Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная система отсчета движется поступательно (рис. 2.11). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением.

Теорема сложения скоростей при поступательном

переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

(2.40)

Из векторного треугольника на рис. 2.11 для радиуса – вектора точки относительно неподвижной системы отсчёта имеем

. (2.41)

Разложим вектор на составляющие по осям

(2.42)

Так как оси параллельны осям то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем

(2.43)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты в уравнение (2.43), получим . Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений.

.

Дифференцируя уравнение (2.43) второй раз, имеем

(2.44)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.43), имеем . Теорема доказана.