Курс лекций по теоретической механике (стр. 16 )

Следовательно, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, направление вектора не совпадает с направлением вектора .

Таким образом, основные кинематические характеристики движения тела вокруг неподвижной точки - векторы и . Мгновенная угловая скорость будет равна векторной сумме составляющих угловых скоростей

(2.142)

2.4.16. Скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

Из рис. 2.46 имеем: скорость точки М в соответствии с теоремой Эйлера равна , а ее модуль определится по формуле Здесь R - кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси ОР вращения.

Рис. 2.46. Скорость точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О

Проекции векторного произведения на оси координат имеют вид:

Откуда

(2.143)

2.4.17. Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

Теорема: Ускорение любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений.

Доказательство.

Возьмем произвольную точку М тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О (рис. 2.47). Проведем радиус-вектор из точки О в точку М. Кратчайшее расстояние от нее до векторов и обозначим через R и h соответственно. Тогда

(2.144)

где:

Векторное произведение есть вектор , перпендикулярный одновременно векторам и . Он направлен по радиусу R к оси вращения ОР называется осестремительным ускорением Модуль этого ускорения равен

Рис. 2.47. К определению ускорения точки М тела,

вращающегося вокруг неподвижной точки О

Векторное произведение есть вектор . Это ускорение направлено перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами и . При этом Его модуль . Вектор называют вращательным ускорением.

Таким образом, полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно

(2.145)

где - угол между векторами и Когда , то

2.4.18. Общий случай движения свободного твердого тела

Пусть свободное твердое тело как угодно перемещается относительно неподвижной системы отсчета (рис. 2.48).

Рис. 2.48. Схема к описанию общего случая движения свободного твердого тела

Положение тела в любой момент времени будет известно в системе отсчета , если будем знать положение полюса А, то есть, координаты и положение тела по отношению к осям AXYZ, определяемое углами Эйлера Тогда уравнения движения свободного тела относительно осей запишутся так:

; ; (2.146)

(2.147)

Элементарное перемещение свободного твердого тела слагается из поступательного перемещения вместе с полюсом А, при котором оно переходит в положение и некоторого перемещения по отношению к осям AXYZ, то есть вокруг точки А (как неподвижного полюса). Последнее перемещение согласно теореме Эйлера - Даламбера представляет собой поворот вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через точку А.

Следовательно, движение свободного тела слагается в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 2.49).

Рис. 2.49. Схема свободного движения твердого тела

Поступательная часть движения тела описывается уравнениями: ; ; а вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс, уравнениями:

Основные кинематические характеристики такого движения – скорость и ускорение полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение во вращательном движении.

Скорость точки М свободно движущегося тела складывается из скорости полюса А и скорости , которую получает точка М при движении вместе с телом вокруг полюса А, то есть, Поскольку то .

Ускорение точки M тела определяется аналогично:

(148)