Курс лекций по теоретической механике (стр. 4 )

(2.22)

Ускорение точки

Известно, что Поэтому на основании теоремы: проекция производной от вектора на какую-нибудь ось равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, имеем:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

То есть проекции ускорения точки на оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль ускорения точки

(2.26)

Направляющие косинусы вектора ускорения:

(2.27)

Если точка движется прямолинейно, например, вдоль оси , то: , а скорость и ускорение определятся по формулам:

(2.28)

2.3.8. Определение скорости и ускорения точки при

естественном способе задания её движения

Закон движения точки в этом случае записывается так За время дуговая координата точки изменится на величину . Средняя скорость изменения дуговой координаты будет равна (рис. 2.8)

Рис. 2.8. Схема к определению скорости точки

при естественном способе задания ее движения

(2.29)

Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент времени

(2.30)

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от криволинейной координаты по времени.

Ускорение точки при естественном способе задания её движения рассматривается относительно самой траектории движения. Для четкости представления закономерности изменения модуля и направления вектора ускорения вводятся естественные оси. Они необходимы для того, чтобы учесть изменение кривизны траектории движения точки в пространстве. Естественные оси направляются следующим образом (рис. 2.9):

Рис. 2.9. Схема к аналазу образования касательного и нормального ускорений точки.

Касательная ось - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты ;

Нормальная ось - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

Бинормальная ось - перпендикулярно первым двум осям так, чтобы она образовала с ними правую систему координат.

Нормаль называют главной нормалью, а - бинормалью.

Нам уже известно, что полное ускорение точки , движущейся по криволинейной траектории, направлено в сторону вогнутости кривой и лежит в соприкасающейся плоскости.

Проектируя полное ускорение точки на касательную и нормаль, получим касательное и нормальное ускорения.

Касательное ускорение

Пусть в момент времени точка занимает положение (рис. 2.9) и имеет скорость , а в момент времени - положение и - скорость . Тогда предел отношения разности скоростей ко времени определит касательное ускорение точки в данный момент времени.

Из рис. 2.9 находим:

(2.31)

Поскольку при угол и , то

(2.32)

Следовательно, касательное ускорение направлено вдоль касательной к траектории и численно равно

(2.33)

Нормальное ускорение

Для определения нормального ускорения возьмем предел разности проекций скоростей точек и на нормаль к интервалу времени их изменения . Из рис. 2.9 также имеем

(2.34)

Составляющие формулы (2.34) равны:

(2.35)

и

(2.36)

Величина - кривизна кривой, а - радиус ее кривизны.

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.34) окончательно имеем

. (2.37)

Нормальная составляющая полного ускорения точки при ее криволинейном движении равна частному от квадрата скорости на радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Рис. 2.10. Схема к анализу изменения направления вектора касательного ускорения

Полное ускорение точки

(2.38)

(2.39)

где - угол между нормалью к кривой и вектором полного ускорения точки (рис. 2.10, б).