Курс лекций по теоретической механике (стр. 14 )

2.4.12. Определение ускорений точек КШМ

Нетрудно видеть, что ускорение точки В (рис. 2.33), равное производной от выражения (2.122) значительно усложняется и это в условиях, когда анализируется работа простейшего кривошипно-шатунного механизма (КШМ). Поэтому для определения ускорений точек механизма обычно использую план скоростей. Его можно строить отдельно (рис. 2.38) от механизма или вместе с ним (рис. 2.39).

В качестве примера вновь возьмем кривошипно-шатунный механизм. Для определения ускорений его точек начертим сам механизм в масштабе в заданном положении (рис. 2.38, а). При этом известно, что , AC = BC. Составим и решим графически векторные уравнения ускорений точек A, B и C механизма (рис. 2.38, а).

Выбирая точку О в качестве полюса, для точки А имеем

(2.127)

Здесь также равно нулю, так как , поэтому

Вектор на плане ускорений (рис. 2.38, б) уже имеется. Модуль вектора и направлен (параллельно AB) от точки В к точке А.

Рис. 2.38. Схема механизма и план ускорений его точек

Угловую скорость определим, основываясь на данных из плана скоростей (рис. 2.36, б), по формуле

. (2.129)

Тогда Проводя через точку a на плане ускорений (рис. 2.38, б) линию, параллельную звену AB и откладывая на ней отрезок соответствующий направлению нормального ускорения от точки В к точке А, получим точку n.

Откладываем от полюса (рис. 2.38, б) в масштабе вектор , который направлен от точки А к точке О.

Составим векторное уравнение ускорения точки B, взяв в качестве полюса точку А, ускорение которой известно.

(2.128)

Далее нам известно, что вектор . Это дает основание провести через точку n линию . Модуль нам не известен, так как не известно угловое ускорение второго звена. Однако нам известно, что вектор ускорения точки B направлен вдоль оси цилиндра. Проводя из полюса линию || оси цилиндра до пересечения с линией nk, получим точку b. Следовательно, Соединяя точки a и b, получим вектор полного относительного ускорения точки B вокруг полюса A.

Так как точка C расположена на середине AB, то на плане ускорений она будет на середине вектора , а отрезок .

Таким образом, определены ускорения всех точек A, B и C механизма в заданном его положении. При этом появилась возможность определить и угловое ускорение второго звена (AB).

(2.130)

Иногда план ускорений точек механизма удобнее строить на схеме механизма. Например, для определения ускорения точки B (рис. 2.38) кривошипно-шатунного механизма план ускорений строят на плане механизма, начиная с точки B. На рис. 2.39 показан пример построения плана ускорений точки B на схеме механизма путем графического решения уравнения (2.128).

Рис. 2.39. Схема КШМ и плана ускорений его точек

Если возникает необходимость знать скорости и ускорения точек механизма в другом положении его звеньев, то вновь вычерчивается схема механизма в новом положении и процесс определения скоростей и ускорений точек механизма повторяется.

В практике иногда требуется знать скорости и ускорения точек звеньев механизма при любом их положении, поэтому применение графоаналитического способа становится весьма трудоемким делом.

Чтобы избавиться от этого недостатка, надо составить уравнения движения точек механизма в системе отсчета, связанной с началом (точкой О) ведущего звена, и с помощью ЭВМ определить скорости и ускорения точек механизма.

В принципе возможно создание автоматизированной системы, которая бы графоаналитическим методом определяла скорости и ускорения точек механизма для любых положений его звеньев.

При решении некоторых задач можно воспользоваться мгновенным центром ускорений.

2.4.13. Мгновенный центр ускорений

При поступательном движении тела в его сечении (S) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (рис. 2.40).

Рис. 2.40. Схема к определению мгновенного центра ускорений

Положение центра Q можно определить, если известны: ускорение какой-нибудь точки A тела и величины и . Положение Q определяют в такой последовательности (рис. 2.40):

1.  Вычисляют величину угла

(2.131)

2. Если вращение ускоренное, то угол откладывают в сторону вращения от вектора , а если замедленное, то - против, то есть всегда в сторону направления углового ускорения Далее откладывают по лучу AE отрезок (рис. 2.40)

(2.132)

Построенная таким образом точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, если взять за полюс точку А, то для точки Q можем записать

(2.133)

Модуль ускорения

(2.134)

Учитывая, что

, (2.135)

найдем

Вектор должен образовать с прямой AE угол , следовательно, . Далее направление вектора

совпадает с направлением углового ускорения , то есть на рис. 2.40 вектор направлен в сторону, противоположную вектору . Следовательно, . Поэтому ускорение точки Q равно нулю

Если точку Q взять за полюс, то в силу того, что ускорение любой точки M тела, согласно формулам будет

(2.136)