Курс лекций по теоретической механике (стр. 9 )

Рис. 2.21. Схема к определению направления вектора

. (2.81)

2.4.4. Метод Эйлера для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела

На рис. 2.22 видно, что скорость точки определится по формуле . Поскольку треугольник прямоугольный, то . Тогда в общем виде (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Схема для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела методом Эйлера

Это скалярное выражение векторного произведения

(2.82)

предложенного Эйлером для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела. Действительно, модуль данного векторного произведения определяется по формуле

, (2.83)

где .

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , входящие в векторное произведение, и направлен по касательной к окружности.

Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки . Следует только считать этот вектор приложенным не в точке О, а в точке .

Ускорение точки вращающегося тела (рис. 2.22)

(2.84)

но

Поэтому С другой стороны - это касательное ускорение, а - это нормальное ускорение. Модуль векторного произведения Так как , то - касательное ускорение (рис. 2.22). Нормальное ускорение равно

(2.85)

Так как векторы и взаимноперпендикулярны, то направление вектора векторного произведения параллельно вектору и направлен он от точки к оси вращения (рис. 2.22). Таким образом, векторное произведение и есть вектор нормального ускорения .

Векторное произведение дает вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат эти векторы и направленный по касательной к окружности в точке в сторону углового ускорения . Следовательно, полученный вектор и есть вектор касательного ускорения .

Таким образом, вектор полного ускорения точки вращающегося тела

(2.86)

Модули касательного и нормального ускорений определяются соответственно:

(2.87)

(2.88)

Модуль полного ускорения точки вычисляется по формуле

(2.89)

Полученные формулы позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние от точки до оси вращения.

По этим же формулам можно, зная характеристики движения одной точки тела, найти движение другой точки, а также кинематические характеристики движения всего тела в целом.

2.4.5. Вращение тела относительно нескольких осей

Вращения направлены в одну сторону

На рис. 2.23 показана схема вращения тела (диска), направленного в одну сторону вокруг двух параллельных осей: - угловая скорость относительного вращения вокруг оси aa'; - угловая скорость переносного вращения вокруг оси bb'. Ось aa' параллельна оси bb'.

Если вращения направлены в одну сторону, то в этом случае точка А получает скорость только от вращения вокруг оси bb' (рис. 2.23, б) и её скорость равна Точно так же

Поскольку векторы и параллельны друг другу (рис. 2.23, б) и направлены в разные стороны, то точка С является мгновенным центром скоростей . Ось сс' параллельная осям aa' и bb', является мгновенной осью вращения тела. Тогда, исходя из рис. 2.23, б имеем:

(2.90)

Рис. 2.23. Сложение вращений, направленных в одну сторону относительно двух

параллельных осей aa' и bb'

С учетом свойств пропорции найдём

(2.91)

Учитывая, что (рис. 2.23,а) найдём

(2.92)

Тогда предыдущая пропорция дает такой результат:

(2.93)

Таким образом, если тело участвует одновременно в двух, направленных в одну сторону, вращениях относительно параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям, с угловой скоростью

С течением времени мгновенная ось cc' будет менять положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Вращения направлены в разные стороны

Такая схема вращения показана на рис. 2.24. Для определенности примем, что

Рис. 2.24. Сложение вращений вокруг параллельных осей

(вращения направлены в разные стороны)

Тогда из рис. 2.24 имеем:

При этом и параллельны друг другу () и направлены в одну сторону (рис. 2.24). Поэтому мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 2.24, б), причем,