Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 10 )

, .

Здесь, как и в п. 2.2, обозначено .

Опираясь на свойство корреляционных функций (2.3.1), можно записать , т. е. корреляционную функцию связи двух стационарных процессов можно описать одной корреляционной функцией связи, заданной как при положительных, так и отрицательных значениях аргумента, при этом функция в общем случае не является четной.

Из изложенного ясно, что принятие гипотезы стационарности случайных функций приводит к значительному упрощению описания их статистических свойств, что позволило, в свою очередь, разработать эффективные математические методы, используемые при прогнозировании. Для нестационарных функций решение этих вопросов связано с большими трудностями. Поэтому всякую случайную функцию, с которой имеют дело на практике, прежде всего, пытаются рассматривать с точки зрения возможности считать ее стационарной. Для процессов, имеющих место в атмосфере и гидросфере, гипотеза об их стационарности хорошо оправдывается для сравнительно небольших интервалов времени или расстояний. С увеличением интервалов изменения аргумента наблюдается и нарушение стационарности. Так, для гидрологических рядов гипотеза о стационарности считалась достаточно естественной в течение длительного времени. Однако все возрастающая хозяйственная деятельность человека на водосборе, а также возможные антропогенные изменения климата требуют в настоящее время обоснование этой гипотезы для каждого конкретного водосбора. Антропогенные изменения стока приводят к тому, что стационарные распределения приходится строить либо по очень коротким рядам, либо по неоднородным гидрологическим рядам, что создает огромные проблемы в обеспечении устойчивости статистических параметров.

Аналогичные замечания можно сделать и для других гидрометеорологических характеристик. Несмотря на то, что нарушение стационарности приводит к изменению математического ожидания рассматриваемой гидрометеорологической величины, тем не менее, стационарность в смысле независимости корреляционной функции от начала отсчета сохраняется с достаточно допустимым на практике приближением. Исходя из этого, часто на практике вместо самого случайного процесса целесообразно рассматривать центрированный случайный процесс, так как этот процесс можно уже считать стационарным с постоянным математическим ожиданием, равным нулю, а корреляционные функции центрированного и исходного процессов совпадают. Поэтому для многих процессов атмосферы и гидросферы на основе большого статистического материала различными авторами предложены разнообразные корреляционные функции, общими свойствами которых являются: 1) стремление их к нулю при возрастании аргумента, и 2) максимальные значения этих функций, равные дисперсиям случайных процессов, достигаются при нулевом значении аргумента. Если мы рассматриваем стационарный процесс с корреляционной функцией , то ее максимум будет при , в то время как корреляционная функция связи максимума при может не достигать. Действительно, влияние одного процесса на другой может происходить с некоторым запаздыванием, например нагревание воды за счет солнечного излучения происходит лишь спустя некоторое время . В этом случае значение корреляционной функции связи между сечениями этих процессов при интервале , отличном от нуля, будет больше, чем между одновременными сечениями этих процессов. Наличие такого запаздывания может служить причиной несимметричности корреляционной функции связи относительно аргумента , т. е. .

С некоторыми видами корреляционных функций мы познакомимся ниже.

2.6.  Положительно определенные функции

Для убедительности доказательств последующих утверждений введем понятие положительно определенной функции.

Функция f(t), удовлетворяющая неравенству

для любых наборов и любых вещественных называется положительно определенной.

Рассмотрим сумму такого вида для стационарной корреляционной функции

.

Для стационарного случайного процесса начало отсчета можем принять при . Последняя сумма не может быть отрицательной, так как рассматривается математическое ожидание величины, возведенной в квадрат.

Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса представляет собою положительно определенную функцию.

Справедливым является и обратное утверждение: всякая положительно определенная функция является корреляционной функцией некоторого стационарного случайного процесса.

2.7.  Свойство эргодичности случайных процессов

Стационарные случайные процессы могут обладать замечательным свойством, получившим название свойства эргодичности. Рассмотрим подробнее смысл этого свойства. До сих пор мы определяли основные характеристики случайного процесса путем осреднения по множеству реализаций. Но возможен и другой способ осреднения, если мы располагаем одной реализацией достаточной продолжительности. При этом если связь между сечениями случайного процесса убывает быстро, то отдельные части реализации мы имеем право рассматривать как независимые между собой. Поэтому совокупность таких отдельных n частей одной реализации мы можем принимать за совокупность n самостоятельных реализаций. Для стационарных процессов нам известно, что математическое ожидание и дисперсия не зависят от аргумента, поэтому можно, не разделяя реализацию на отдельные части, определить эти характеристики по всей данной реализации:

,

где – длина интервала, на котором задана реализация.

Возникает закономерный вопрос: будут ли характеристики случайного процесса, полученные путем осреднения по совокупности реализаций, совпадать с соответствующими характеристиками, найденными путем осреднения только по одной реализации. Оказывается, что это выполняется не для всех стационарных функций.

Говорят, что стационарные функции обладают свойством эргодичности, если статистические характеристики, полученные путем осреднения по множеству реализаций в данный момент времени, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равны статистическим характеристикам, полученным путем осреднения по достаточно длительному интервалу времени одной единственной реализации.

Здесь использовано известное из теории вероятностей понятие сходимости по вероятности, которое, например, для среднего значения по реализации может быть записано в виде:

, (2.7.1)

где – средняя по реализации за интервал времени , – средняя по множеству реализаций в данный момент времени, – бесконечно малая величина.

Равенство (2.7.1) дает достаточные основания для того, чтобы на практике можно было вместо использовать значение , где сравнительно велико. Поэтому остается выяснить, при каких условиях для на практике выполнимо условие (2.7.1), так как при наличии наблюдений на малом интервале изменения аргумента можно получить искомые характеристики с недопустимо большими ошибками. Опуская подробные доказательства, которые можно найти, например, в двухтомнике , , заметим, что Тейлором было доказано: для дисперсии разностей между истинным значением, полученным осреднением по одной реализации при достаточно большом , справедлива асимптотическая формула:

, где – интервал осреднения, – величина, называемая временем корреляции, причем .