Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 2 )

Между статистической и классической вероятностью существует связь, определяемая законом больших чисел в виде теоремы Бернулли (студенту предлагается вспомнить).

Случайная величина полностью определяется законом распределения (для дискретных величин – это ряд распределения или функция распределения, для непрерывных величин – это функция распределения или функция плотности вероятности).

Ряд (таблица) распределения – это задание возможных значений случайной величины с соответствующими вероятностями. Например,

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	pn

Здесь , n – либо общее число исходов, либо число опытов. Рассматривая каждую пару значений как точку на плоскости, можно ряд распределения представить геометрически как многоугольник распределения.

Функция распределения – это универсальный (интегральный) закон распределения, справедливый и для дискретных, и для непрерывных случайных величин. Ее аналитическая запись: – вероятность того, что случайная величина окажется левее какого-либо возможного своего значения. Очевидно, что функция распределения безразмерна. Ее свойства: если , то – неубывающая функция своего аргумента,

.

Дополнение функции распределения до 1, т. е. называют в гидрологии функцией обеспеченности (в биологии – функцией выживаемости, экономике – функцией риска). Если обозначить функцию обеспеченности через , то

,

т. е. функция обеспеченности показывает вероятность превышения некоторого заданного значения и обладает свойствами:

при ;

;

Функция плотности распределения (вероятности) – это дифференциальный закон распределения непрерывных случайных величин: (при условии, что дифференцируема для всех значений случайной величины). Вспомнив определение производной, можно утверждать, что функция плотности распределения имеет размерность, обратную размерности случайной величины. Функция плотности распределения, являясь производной неубывающей функции распределения , будет неотрицательной, т. е. и , где есть элемент вероятности (безразмерный).

Благодаря функции плотности вероятности можно оценить вероятность попадания случайной величины в любую область из множества ее значений. Например,

, ,

где , и принадлежат области определения случайной величины .

Существует очень большое количество различных теоретических законов распределения (равномерный, Бернулли, Коши, Пуассона, нормальный, логнормальный, Гумбеля, Крицкого–Менкеля, Джонсона, 13 кривых распределения Пирсона и др.). Наиболее употребительным является нормальный закон распределения. В гидрометеорологической практике, как правило, рассматривают законы распределения, зависящие от небольшого числа параметров (обычно два–три).

Однако найти конкретный закон распределения для случайной величины не всегда возможно, а иногда и не нужно. Поэтому часто достаточно охарактеризовать поведение случайной величины числовыми характеристиками, из которых студенту надо вспомнить обыкновенные (степенные) начальные, центральные и смешанные моменты. Чтобы четко понимать различие и сходство моментов теоретических и статистических, условимся в левой половине листа записывать моменты теоретические, а в правой – статистические, разделяя их вертикальной чертой.

Теоретические моменты (моменты генеральной совокупности)	Статистические моменты (моменты выборочной совокупности)
Начальные моменты к-порядка
– для дискретной величины, где при должно выполняться условие сходимости ряда.	– начальный момент, взвешенный по частотам. Здесь – общее количество опытов, – количество опытов, в которых появилось интересуемое событие. – простой начальный момент. В дальнейшем все формулы будут записаны в двойном виде (моменты, взвешенные по частотам и простые).

– для непрерывной величины при условии, что несобственный интеграл сходится.
Из начальных моментов самостоятельное значение имеет только 1-й, который получил специальное название – математическое ожидание , или (теоретическое среднее, среднее генеральной совокупности), размерность которого совпадает с размерностью самой случайной величины. Для выборки 1-й начальный момент – это среднее арифметическое.
	– среднее арифметическое, взвешенное по частотам (среднее выборки). – простое среднее арифметическое
Студенту предлагается вспомнить связь между математическим ожиданием и средней арифметической (теорема Чебышева из закона больших чисел). Среднее многолетнее значение величин (многолетний период такой продолжительности, при увеличении которой полученное среднее существенно не меняется) называют нормой, например, норма годового стока, норма сроков вскрытия и замерзания водных объектов, норма дат начала и окончания весеннего половодья, норма высоты снежного покрова, климатическая норма и пр. Начальные моменты выше первого порядка самостоятельного значения не имеют и используются как вспомогательные для более быстрого вычисления центральных моментов.
Центральные моменты к-порядка
для дискретной величины для непрерывной величины
Центральные моменты самостоятельного значения не имеют. имеет самостоятельное значение и его называют дисперсией (D).
для дискретной величины	,
для непрерывной величины	, для n < 30
Дисперсия имеет размерность, равную размерности квадрата случайной величины. Поэтому, чтобы получить характеристику разброса той же размерности, что и случайная величина, из дисперсии извлекают квадратный корень. Положительный корень из дисперсии: – среднее квадратическое отклонение (по английской терминологии – стандарт), который характеризует разброс случайной величины вокруг своего среднего. На практике измерить все значения случайной величины не всегда возможно. В этих случаях поступают следующим образом: в расчет включают дополнительную характеристику, которая позволяет по среднему значению, полученному на основании ограниченного числаn наблюдений, судить об общей (истинной) величине средней всей совокупности. Такого рода характеристиками являются средние случайные ошибки. Так, средняя ошибка средней арифметической , а средняя ошибка среднего квадратического отклонения . Отношение должно находиться в пределах , согласно которым случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения. Центральные моменты и используют для расчетов соответственно асимметрии (А) и эксцесса ().
для дискретной величины
для непрерывной величины
А = 0 – распределение случайной величины симметрично, А < 0 и А > 0 – распределение асимметрично – соответственно левая и правая асимметрия. Коэффициент асимметрии безразмерен. На практике принято асимметрию при значении считать малой, – умеренной, – большой, – исключительно большой.
для дискретной величины
для непрерывной величины
Именно число 3 вычитается потому, что для весьма распространенного нормального закона распределения отношение . Следовательно, для нормального распределения ; для более островершинного распределения по сравнению с нормальным ; для более плосковершинного распределения по сравнению с нормальным . Отклонение от нормального распределения может приобретать не только асимметричную форму. Имеются распределения, у которых в силу воздействия тех или иных факторов сохраняется симметричность ряда и его кривой распределения, но наблюдается нехарактерное для нормального распределения скопление частот в центре ранжированного ряда. Это скопление образует высокую пикообразную кривую, ветви которой круто опускаются по осям ординат к оси абсцисс и затем резко переходят в «шлейфы» по обеим сторонам. Такой тип кривой называют эксцессивным (). Для кривых с существенно положительным эксцессом характерно, что крайние значения и не доходят до границ . При кривая распределения может иметь провал, что соответствует генетической неоднородности ряда случайных величин. Оценки эксцесса колеблются в . Если – кривая распределения распадается на две отдельные, при считают, что распределение приближается к нормальному. Центральные моменты выше четвертого порядка на практике используются очень редко из-за быстрого накопления ошибок округления при расчетах.
Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами Х и У характеризует степень тесноты линейной зависимости.
для дискретной величины
для непрерывной величины	при i=j.
– вероятность совместной реализации значений и , – двумерная функция плотности вероятности. – безразмерная величина, . Если , то между случайными величинами нет линейной связи; связь нелинейная может иметь место, и ее надо находить другими методами (в этом случае говорят, что величины некоррелируемы, но могут быть зависимыми). Если , то говорят о положительной корреляции, т. е. с увеличением одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать. Если , то говорят об отрицательной корреляции, т. е. с увеличением одной случайной величины другая имеет тенденцию убывать.

Среди часто используемых характеристик случайной величины следует также дополнительно отметить: