Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 6 )

.

Или

Используя (1.3.6), имеем:

Учитывая, что , и деля обе части первого уравнения на , а второго – на , получим:

, ,

,

Уравнение линейной связи: , где .

2)  Y зависит только от Х.

Уравнение связи: или , или , где

,

. ,

,

, или ,

, так как .

Уравнение связи:

, или , или

, где .

1.4. Метод наименьших квадратов

Установление вида теоретической связи между случайными величинами представляет одну из основных задач при их изучении. В предыдущем параграфе рассмотрено уравнение линейной регрессии в самом общем виде и его частные случаи. К сожалению, возможности метода ограничены только случаем линейной зависимости. Однако случайные величины могут быть зависимы, но некоррелированы (значение коэффициента корреляции близко к 0) и приходится искать другой (нелинейный) тип связи. На практике исследователь из каких-то соображений гипотезирует вид теоретической зависимости, коэффициенты которой находятся методом наименьших квадратов. Суть метода – найти коэффициенты гипотезируемой зависимости таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических точек предиктанта от их теоретически рассчитанных была наименьшей. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для различных видов связи.

1.4.1. Линейная связь между двумя случайными
величинами

Имеем наблюдений за двумя величинами и . Пусть расположение точек , где наводит исследователя на мысль о линейной зависимости между случайными величинами:

. (1.4.1)

Коэффициенты в этой зависимости – неизвестны. Найдем их согласно требованиям метода наименьших квадратов:

, где – рассчитанные теоретические, – эмпирические (наблюдаемые) значения величины Y. Иначе последнее равенство можно записать:

(1.4.2.)

Выполняя условие экстремума (минимума), продифференцируем (1.4.2) по неизвестным . Получим нормальную систему уравнений:

или

(1.4.3)

Решая (1.4.3), найдем:

, где – определитель системы; – определители, полученные из определителя путем замены соответственно первого и второго столбца столбцом свободных членов системы (1.4.1). Для обеспечения единственности решения должен определитель системы . Подставив найденные коэффициенты в уравнение (1.4.1), найдем теоретическое уравнение связи. Естественно, что результаты, полученные в предыдущем параграфе с использованием сигмального масштаба, должны полностью совпадать с результатами, полученными методом наименьших квадратов. С помощью среднего квадратического отклонения можно оценить погрешность полученных расчетных значений:

.

Совершенно очевидно, что по аналогии можно найти коэффициенты множественного линейного уравнения регрессии.

1.4.2. Построение нелинейных уравнений множественной регрессии

В процессе наблюдений

Y изменяется: Y1, Y2, Y3,..., Yn,

X1 – X11, X12, X13, ..., X1n,

X2 – X21, X22, X23, ..., X2n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

Xm – Xm1, Xm2, Xm3, ..., Xmn.

Пусть зависимость имеет степенной вид:

(1.4.4)

Прологарифмируем (основание логарифма значения не имеет, пусть это – 10).

.

Параметры уравнения определим методом наименьших квадратов при условии:

.

Продифференцировав по всем и сделав преобразования, получим нормальную систему уравнений с неизвестными :

Если определитель системы , то

откуда

, , …, .

Замечание. Для удобства и краткости теоретических выкладок решения уравнений записаны в виде определителей, хотя известно, что на практике решать с помощью формул Крамера удобно только системы не выше 3-го порядка. Если системы содержат более трех уравнений, то надо воспользоваться одним из методов исключения неизвестных (например, метод Гаусса с выбором или без выбора главного элемента, метод Жордана–Гаусса и др.).

Найденные коэффициенты подставим в (1.4.4).

Совершенно аналогично можно рассмотреть тип регрессии показательный, логарифмический, тригонометрический и пр. Наименьшая ошибка (невязка) позволяет предпочесть ту или иную зависимость.

Аналитическое решение задачи определения коэффициентов корреляционных уравнений не представляет большой трудности. Однако на практике способ наименьших квадратов иногда бывает неудобен, так как, приступая к вычислениям, мы часто не имеем сведений относительно порядка корреляционного уравнения, которое давало бы достаточно точное приближение эмпирических точек к графику теоретического вида связи. Поэтому приходится постепенно повышать порядок корреляционного уравнения, а это приводит к тому, что необходимо записывать новую нормальную систему уравнений и проводить вновь всю вычислительную работу. Для устранения этих неудобств предложил особый способ решения задачи подбора полиномов того или иного порядка. По способу Чебышева члены уравнения более высокого порядка прибавляются последовательно к уравнению порядка на единицу ниже, полученному в предыдущих расчетах. Погрешность нового уравнения оценивается при условии сохранения погрешности предыдущего уравнения. Если погрешность (невязка) нового уравнения с требуемой точностью не превосходит предыдущей невязки, то исследователь останавливает свой уже обоснованный выбор на предыдущем уравнении.