Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

И АНАЛИЗА ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

Учебное пособие

Иркутск 2007

УДК 551.46+551.501

ББК 26.23

А 79

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Иркутского государственного университета

Рецензенты: , ст. науч. сотр. института солнечно-земной физики, д-р физ.-мат. наук; , доц. кафедры метеорологии и охраны атмосферы Иркутского госунивер ситета, канд. геогр. наук

Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений : учеб. пособие / . – Иркутск : Иркут. гос. ун-т, 2007. – 105 с.

Излагаются основные теоретические знания методов обработки и анализа гидрометеорологической информации, базирующиеся на положениях теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Приводятся примеры конкретных расчетов, проводимых с помощью методов полиномиальной и оптимальной интерполяции, четырехмерного численного анализа и методов контроля исходной информации.

Пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений специальностей «Гидрология» и «Метеорология», а также направления «Гидрометеорология».

Библиогр. 43 назв. Ил. 2. Табл. 1.

ISBN 978-5-9624-0165-2

Пособие подготовлено при поддержке ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006–2008) проект РНП. 2.2.1.1.7334 «Научно-образовательный центр Байкал».

УДК 551.46+551.501

ББК 26.23

ISBN 978-5-9624-0165-2 © , 2007

© ГОУ ВПО «Иркутский государственный

университет», 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 6

1.1. Основные понятия 6

1.2. Введение в теорию ошибок 18

1.2.1. Особенности обработки ограниченного числа наблюдений. Оценки для неизвестных параметров закона распределения 21

1.2.2. Оценки для неизвестных параметров генеральной совокупности: математического ожидания и дисперсии 23

1.3 Множественное линейное уравнение регрессии. Множественный коэффициент корреляции 27

1.4 Метод наименьших квадратов 33

1.4.1. Линейная связь между двумя случайными величинами 33

1.4.2 Построение нелинейных уравнений множественной регрессии 35

2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 38

2.1. Основные понятия 38

2.2. Основные характеристики случайной функции 41

2.3. Система случайных функций 46

2.4. Суммирование случайных функций 49

2.5. Стационарные случайные функции 51

2.5.1. Система стационарных случайных функций 54

2.6. Положительно определенные функции 57

2.7. Свойство эргодичности случайных процессов 57

2.8. Структурная функция 60

2.9. Случайные поля 63

2.9.1. Основные понятия 63

2.9.2. Однородные и изотропные случайные поля и их характеристики 66

2.10. Экстраполяция, интерполяция и сглаживание случайных
функций 69

2.11. Влияние ошибок измерения на статистические характеристики
корреляционного анализа 72

3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ 73

3.1. Метод полиномиальной интерполяции 75

3.2. Метод оптимальной интерполяции 80

3.3. Четырехмерный численный анализ 93

3.4. Метод контроля исходной информации 95

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время остро ощущается недостаток учебной литературы, в которой методически и в разумных пределах строгости были бы освещены необходимые разделы для освоения грамотной статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Дисциплина относится к основополагающим курсам в системе подготовки высококвалифицированных специалистов, независимо от их специализации в области гидрометеорологии.

Цель пособия – освоение теоретических и практических основ прикладного статистического анализа.

Пособие рассчитано на знание основ математического анализа, теории вероятностей и математической статистики в рамках программного курса для студентов, обучающихся по специальностям гидрология, метеорология или по направлению гидрометеорология. Материал, изложенный в пособии, может оказать существенную помощь и при изучении таких дисциплин, как «Гидрологические прогнозы», «Численные методы анализа и прогноза погоды», «Синоптическая метеорология», «Речной сток и гидрологические расчеты», «Водохозяйственные расчеты», «Моделирование в задачах охраны окружающей среды».

Учебное пособие состоит из введения, трех глав, списка основной и дополнительной литературы в алфавитном порядке. Формулы имеют тройную нумерацию: первая цифра – номер главы, вторая – номер параграфа в соответствующей главе, третья – номер формулы в рассматриваемом параграфе. Количество рисунков ограничено, а потому их нумерация сквозная.

1.  КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

1.2.  Основные понятия

Теория вероятностей и математическая статистика изучают закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные, основные, решающие; влиянием остальных, второстепенных, факторов просто пренебрегают.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема так называемых «точных наук» оказывается плохо приспособленной. Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это – задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение методов исследования «точных наук» себя не оправдывает.

Очевидно, должна существовать принципиальная разница в методах учета основных, решающих факторов, определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, потребовал создания специальных методов для изучения этих явлений. Именно такие методы разработаны в теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, обычно обнаруживаются определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

Подобные специфические, так называемые «статистические», закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается уже практически не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой применения вероятностных (статистических) методов исследования.

Обычно случайные величины обозначают большими
(прописными) буквами латинского алфавита, а их возможные значения – соответствующими малыми (строчными) буквами с целочисленными индексами. Например, случайная величина с возможными значениями . Рассматривают случайные величины двух типов: дискретные и непрерывные. Возможные значения дискретных величин можно перечислить (количество гидрометеорологических станций и постов в городе, количество телефонных звонков, поступающих абоненту в сутки, количество студентов в группе и пр.). Возможные значения непрерывных величин заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые. Примеры непрерывных величин – давление, модуль скорости ветра, температура среды, рост человека и пр.

Необходимо вспомнить, что в теории вероятностей и математической статистике давались определения

классической вероятности – ,

где n – общее число исходов, m – число исходов, благоприятствующих появлению интересуемого события. Иначе классическую вероятность можно назвать теоретической вероятностью, или вероятностью генеральной совокупности, или вероятностью до опыта (apriori). Определить такую вероятность можно при условии, что для случайных событий выполнима схема случаев, т. е. выполняются три условия: события образуют полную группу, несовместны и равновозможны.

Если хотя бы одно из трех условий не выполняется, то определить классическую (теоретическую) вероятность нельзя. В этом случае необходимо проделать серию опытов и определить так называемую

статистическую вероятность – ,

где n – общее число опытов, m – число опытов, в которых появилось (наблюдалось) интересуемое событие. Иначе статистическую вероятность можно назвать эмпирической, или вероятностью выборочной совокупности, или вероятностью после опыта (a posteriori).