Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 4 )

Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная величина , закон распределения которой содержит неизвестный параметр а. Требуется найти подходящую оценку для параметра а по результатам независимых опытов, в каждом из которых величина приняла определенные значения: .

Обозначим через оценку параметра а, которая естественно есть функция

и, следовательно, сама является случайной величиной. Закон распределения зависит, во-первых, от закона распределения величины (в частности, от самого неизвестного параметра а) и, во-вторых, от числа опытов . Предъявим к оценке ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой.

Естественно потребовать от оценки , чтобы при увеличении числа опытов N она приближалась (сходилась по вероятности) к параметру а. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

Желательно, чтобы, пользуясь величиной , мы, по крайней мере, не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, т. е. чтобы выполнялось условие:

.

Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной.

Наконец, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала (по сравнению с другими) наименьшей дисперсией, т. е. . Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

На практике не всегда удается удовлетворить всем этим трем требованиям. Например, может оказаться, что даже если эффективная оценка существует, формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными и приходится удовлетворяться другой оценкой, дисперсия которой несколько больше. Иногда применяются, в интересах простоты расчетов, незначительно смещенные оценки. Однако выбору оценки всегда должен предшествовать ее критическое рассмотрение со всех перечисленных выше точек зрения.

1.3.2.  Оценки для неизвестных параметров генеральной совокупности: математического ожидания
и дисперсии

Пусть в результате наблюдений случайная величина Х приняла какие-то значения . Математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности этой случайной величины неизвестны. Требуется найти для них «доброкачественную оценку».

В качестве оценки для математического ожидания естественно принять среднее арифметическое выборки:

.

Согласно Закону больших чисел эта оценка является состоятельной, так как при увеличении опытов величина сходится по вероятности к .

Оценка является и несмещенной, так как

.

Здесь и в дальнейшем используется условие, что операции суммирования и математического ожидания перестановочны.

Дисперсия оценки .

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины Х. Можно доказать, что если Х распределена по нормальному закону, то дисперсия будет минимально возможной, т. е. оценка является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

Перейдем теперь к оценке для неизвестной дисперсии генеральной совокупности. Наиболее естественной оценкой представляется дисперсия выборки .

.

Проверим, является ли эта оценка состоятельной. Для этого выразим оценку через начальные оценочные моменты (где целочисленный индекс к определяет порядок момента):

.

Из Закона больших чисел при оценочные моменты выборки сходятся по вероятности к соответствующим начальным моментам генеральной совокупности, т. е. с вероятностью , а потому , и мы можем утверждать, что оценка состоятельна.

Проверим, является ли оценка несмещенной: .

Найдем сначала

Теперь найдем

.

Так как дисперсия не зависит от выбора начала координат, то выберем его в точке . Так как опыты независимы, то

, где – математические ожидания центрированных величин, – второй центральный смешанный корреляционный момент.

Поэтому .

Из последнего выражения видим, что оценка по выборке не является несмещенной для дисперсии генеральной совокупности, т. е., пользуясь оценкой , мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину на . Получим

несмещенную оценку.

Итак,

.

Такую исправленную статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки для неизвестной дисперсии генеральной совокупности.

Заметим, что множитель при , а это означает, что при достаточно большой выборке обе оценки – смещенная и несмещенная будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. На практике рекомендуют вводить поправочный коэффициент при выборке, содержащей менее 30 наблюдений.

Оценка для дисперсии генеральной совокупности не является эффективной. Однако в случае нормального закона распределения случайной величины она является асимптотически эффективной, т. е. при увеличении числа опытов N отношение ее дисперсии к минимально возможной по вероятности неограниченно стремится к 1.

Итак, при обработке ограниченного числа наблюдений для оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности рекомендуется пользоваться приближенными оценками:

и .

1.3.  Множественное линейное уравнение регрессии.
Множественный коэффициент корреляции

Общий случай