Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 13 )

Поскольку мы имеем дело со случайными функциями, то нас интересует нахождение такого способа решения задачи, который бы давал наилучший в некотором смысле результат по всему множеству реализаций, т. е. нахождение такого оператора L, который в применении к множеству реализаций давал бы наилучшие в некотором смысле значения реализации :

, или .

Естественно, возникает вопрос, что понимать под критерием качества решения поставленной задачи. В рамках случайных процессов качество оператора можно оценить лишь статистически, т. е. в среднем по всему выбранному множеству реализаций случайной функции.

Можно назвать наилучшим тот оператор , который обращает в минимум разность .

Однако с математической точки зрения наиболее удобным критерием качества является обращение в минимум математического ожидания квадрата разности

.

При выполнении этого условия оператор называется оптимальным и обеспечивает оптимальную экстраполяцию, интерполяцию или сглаживание.

Способ решения поставленной задачи существенно зависит от того, является ли интервал, на котором известна реализация, конечным или бесконечным. Для конечного интервала будем считать, что реализация задана при конечном числе дискретных значений параметра , что наиболее часто имеет место в практике гидрометеорологических измерений.

2.11.  Влияние ошибок измерения
на статистические характеристики
корреляционного анализа

Пусть каждая реализация случайного процесса получена в результате опыта с некоторой ошибкой, так что

, .

Тогда оценка для математического ожидания случайного процесса согласно (2.4.2) имеет вид , т. е. математическое ожидание истинного случайного процесса завышено на математическое ожидание случайных ошибок измерения.

Дадим оценку корреляционной функции. Согласно (2.4.3) имеем

.

В гидрометеорологической практике обычно считают, что ошибки измерений не коррелируют как с истинными значениями измеряемой величины при любых значениях аргументов, так и между собой только при различных значениях аргументов, т. е.

; ; .

Итак, ошибки гидрометеорологических измерений завышают оценку корреляционной функции на величину дисперсии ошибки только при значениях .

3.  ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Гидрометеорологические станции и посты расположены крайне неравномерно. Большая часть этих станций расположена на хорошо обжитой территории. На акватории океанов, в труднодоступных районах их почти нет. Кроме того, число метеорологических станций, на которых проводятся аэрологические наблюдения, явно недостаточно. Съемки крупно - и мезомасштабных полей океана на больших акваториях обычно осуществляются только в периоды проведения исследований по международным программам несколькими судами одновременно. Систематизация подобных наблюдений заключается в представлении всей полученной информации в форме карт основных полей водного и воздушного океанов, отражающих их состояния на большой территории. Такие карты необходимы также для получения начальных данных о значениях гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки с целью осуществления численного прогноза этих величин.

На первом этапе развития численных методов прогноза значения гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки находились следующим образом. На карту с проведенными на ней изолиниями накладывалась прозрачная палетка с нанесенными на ней узлами сетки. Далее путем визуальной интерполяции определялись значения гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки. Такой способ занимает много времени и приводит к искусственному нарушению автоматизации процесса при прохождении информации через технические устройства. За последние десятилетия было уделено значительное внимание автоматизации указанного процесса. В первую очередь была решена задача получения значений гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки по их значениям на станциях. Эта задача получила название численного или объективного анализа.

Впервые метод численного анализа был предложен в 1949 г. Метод сводился к представлению какой-либо метеорологической величины в виде некоторого полинома. Этот метод стал называться методом полиномиальной интерполяции. Различные варианты этого метода были позднее предложены
, , и другими.

Другой подход к численному анализу был предложен
. Существенным моментом этого метода, который получил название метода оптимальной интерполяции, было использование статистической структуры метеорологических полей. Различные реализации этого метода были осуществлены и другими. Позднее этот метод стал активно использоваться для восстановления полей океана в узлах расчетной сетки (работы , и др.).

Следует отметить, что с точки зрения требований, предъявляемых к оператору L, оба метода: метод полиномиальной интерполяции и метод оптимальной интерполяции являются оптимальными с той лишь разницей, что первый из них не учитывает вероятностную структуру случайных полей. Однако, следуя установившейся традиции, будем использовать предложенную терминологию.

В дальнейшем распространение получили различные методы анализа, основанные на комбинировании линейной интерполяции и статистической структуры гидрометеорологических полей. Это – метод последовательных приближений (метод коррекции), метод сплайн-полиномов.

В настоящее время сплайны успешно применяют при решении широкого круга гидрометеорологических задач, требующих аппроксимации одномерных или многомерных полей сложной структуры, заданных своими значениями в отдельных точках, и, возможно, последующего интегрирования (осреднения) аппроксиманта по заданным областям с целью получения обобщенных пространственных характеристик этих полей. Последняя задача часто усложняется нерегулярным расположением точек, в которых известны значения поля, неправильной формой области и т. д.

Развитие новых средств наблюдений, таких как спутниковые системы, трансозондовые и др. привело к тому, что гидрометеорологические наблюдения стали несинхронными. Это обстоятельство потребовало разработки нового подхода к проблеме численного анализа и привело к созданию четырехмерного численного анализа, который правильнее было бы назвать пространственно-временным численным анализом.

Рассмотрим подробнее некоторые из наиболее употребительных методов численного анализа.

3.1.  Метод полиномиальной интерполяции

Метод основан на описании участка поля какой-либо гидрометеорологической величины в окрестности точки регулярной сетки полиномом (многочленом). Эти полиномы могут быть алгебраическими различного порядка, тригонометрическими, сферическими и т. д. и могут иметь разные порядки. Например, в случае плоскости (один уровень) алгебраические полиномы первого, второго и третьего порядка имеют соответственно вид:

,

,

,

где – координаты, (i = 1, 2, …, 9) – коэффициенты. Указанные полиномы можно записать в более компактном виде:

.

Основы метода рассмотрим на примере поля геопотенциала одного уровня при использовании полинома первого порядка:

(3.1.1)

Определяем коэффициенты методом наименьших квадратов по значениям в нескольких пунктах (станциях), расположенных в окрестности узла (влияющие точки).

. (3.1.2)

Число пунктов может быть невелико, однако в любом случае оно должно быть равно или превышать число членов взятого полинома.

Дифференцируя последнее выражение последовательно по , имеем систему алгебраических уравнений:

Или после тождественных преобразований имеем: