Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 5 )

Имеем n опытов, в каждом из которых наблюдаются величины Y, X1, X2,..., Xm, где X1, X2, ..., Xm – факторы, или предикторы, от которых может зависеть Y-предиктант.

В процессе наблюдений

Y изменяется: Y1, Y2, Y3,..., Yn,

X1 – X11, X12, X13, ..., X1n,

X2 – X21, X22, X23, ..., X2n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

Xm – Xm1, Xm2, Xm3, ..., Xmn,

т. е. факторы Xhj, где h = 1, 2, 3, 4, ..., m; j = 1, 2, 3, 4, ..., n.

Парные коэффициенты корреляции между Y и каждым из факторов в общем виде можно записать в следующем виде:

, (1.3.1)

где h = 1, 2, …, m.

Парный коэффициент корреляции между факторами:

, (1.3.2)

где h, j = 1, 2, …, m.

Уравнение линии связи (линейной):

, (1.3.3)

Коэффициенты линейной связи наилучшим образом можно найти методом наименьших квадратов:

.

Дифференцируя последнее уравнение по каждому неизвестному , получаем систему m уравнений:

.

Или

.

Учитывая уравнения (1.3.1) и (1.3.2), имеем:

.

Деля обе части последнего уравнения на , получаем:

.

Разделим обе части последнего выражения на :

. (1.3.4)

Обозначим:

, откуда

, j = 1, 2, 3, …, m (1.3.5)

Система уравнений (1.3.4) примет вид:

, т. е.

В последней системе ,

неизвестные .

Определитель системы имеет вид:

.

Если , то находим определители путем последовательной замены соответствующих столбцов определителя столбцом свободных членов.

Неизвестные коэффициенты определяем:

.

Подставляя найденные в (1.3.5), определим все в так называемом сигмальном масштабе.

Подставив в (1.3.3), найдем уравнение линейной связи:

,

где .

Множественный коэффициент линейной корреляции имеет вид:

.

Во всех системах уравнений коэффициенты выражены через и . Поэтому говорят, что уравнения записаны в сигмальном масштабе. Применение -масштаба позволяет выявить наиболее влияющие факторы на прогнозируемую величину. Согласно свойству сигмального масштаба коэффициенты показывают весомость, степень влияния каждого фактора. Так например, если отношение , то можно утверждать во сколько раз фактор влияет на изменение величины больше (сильнее), чем фактор . Кроме того, знак перед коэффициентом показывает направленность действия соответствующего j-го фактора: знак «+» – с увеличением фактора имеет тенденцию в среднем возрастать Y-предиктант; знак «-» указывает на обратное влияние, т. е. с увеличением фактора предиктант Y имеет тенденцию в среднем убывать.

Необходимо отметить, что с увеличением учета числа факторов коэффициенты могут по абсолютной величине уменьшаться, т. е. дополнительный фактор уточняет влияние других величин. Например, мы рассмотрели влияние на Y двух величин и и нашли коэффициенты и . Если при включении нового фактора , величины и почти не изменились по абсолютной величине, то влияние фактора несущественно и его нецелесообразно включать в рассмотрение. Если и изменились, то влияние желательно учитывать.

Множественный коэффициент корреляции иногда называют совокупным коэффициентом корреляции. Квадрат множественного коэффициента корреляции принято называть коэффициентом детерминации.

Заметим, что формула расчета множественного коэффициента корреляции записана в сигмальном масштабе в самом общем виде, т. е. для любого количества факторов.

Свойства множественного коэффициента корреляции:

1) , в отличие от парного коэффициента корреляции множественный не показывает направленность действия факторов, так как он только положительный (направленность факторов характеризуют коэффициенты ).

2) – связь между рассматриваемыми величинами функциональная.

3) – не может быть линейно связан с . Нелинейная связь может иметь место.

Частные случаи

1) зависит от двух факторов и , причем каждая переменная измеряется раз.

Тогда формулы (1.3.1) и (1.3.2) принимают вид:

,

. (1.3.6)

Уравнение связи: .

.

Далее,

,