Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 9 )

2.4.  Суммирование случайных функций

Пусть случайная функция W(t) представляет собой сумму двух случайных функций

W(t) =U(t)+V(t). (2.4.1)

При каждом фиксированном t ее математическое ожидание, согласно свойству математического ожидания суммы случайных величин, равно

. (2.4.2)

Найдем корреляционную функцию:

.

Подставим в последнее равенство (2.4.1) и (2.4.2), получим:

.

Сделаем преобразования, сгруппировав члены так, чтобы получить соответствующие центрированные случайные функции.

Тогда

Перемножим двучлены под знаком математического ожидания. Получим:

.

Используя свойство математического ожидания (математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно той же сумме математических ожиданий этих величин), окончательно имеем

(2.4.3)

Таким образом, мы видим, что для определения корреляционной функции суммарного случайного процесса необходимо знать корреляционные функции каждого слагаемого процесса и корреляционные функции связи этих процессов.

В частном случае, когда процессы и не связны, то

, (2.4.4)

так как

Если случайная функция состоит из N слагаемых

,

то формулы (2.4.2), (2.4.3) и (2.4.4) можно соответственно обобщить следующим образом:

,

,

.

2.5.  Стационарные случайные функции

Наиболее простым для изучения является особый класс случайных процессов – стационарные случайные процессы, статистические свойства которых практически не изменяются с изменением аргумента.

Случайный процесс называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если все его конечномерные законы распределения произвольного порядка n не изменяются при любом сдвиге всей группы точек вдоль оси t, т. е. при любом n и справедливо равенство:

. (2.5.1)

Следовательно, плотность распределения инварианта относительно сдвига начала отсчета аргумента t.

Заметим, что термин «стационарность» возник при изучении случайных функций времени и характеризует постоянство их свойств во времени. Для случайных процессов, аргументом которых является другая переменная, например расстояние, вводится термин «однородность». Обычно термин «однородность» применяют к случайным полям, характеризуя их однородность в пространстве, а под стационарностью поля понимают постоянство его статистических свойств во времени, хотя иногда вместо стационарности говорят об однородности по времени.

Полагая в (2.5.1) , получим

.

Мы видим, что n-мерные плотности распределения вероятностей зависят не от абсолютного положения значений на оси t, а от их относительного расположения, а именно от разностей . Это значит, что всякое перемещение начала отсчета по оси времени преобразует совокупность реализаций случайной функции в саму себя таким образом, что ее статистические характеристики не изменяются. Данное определение стационарности налагает слишком много ограничительных условий на случайные процессы, и на практике их невозможно даже проверить. Из равенства (2.5.1) следует, что для стационарного случайного процесса n-мерная плотность распределения вероятностей зависит не от n, а от n-1 значений аргумента, так как одно из значений аргумента всегда можно принять за начало отсчета (например, положить ). Отсюда ясно, что одномерная плотность распределения вероятностей

не зависит от t и является одной и той же для всех сечений случайного процесса.

Двумерная плотность распределения вероятностей

,

где зависит только от одного аргумента – сдвига сечений по координатной оси t.

Для двух произвольных сечений стационарной функции двумерную плотность распределения вероятностей в общем виде можно записать

.

Тогда основные характеристики стационарного случайного процесса имеют вид:

. (2.5.2)

. (2.5.3)

Очевидно, что при . Следовательно, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами для всех сечений стационарного процесса. Эти условия равносильны, например, утверждению о постоянстве климата и физико-географических условий формирования стока, т. е. отрицанию возможности изменения их во времени. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является функцией только одного аргумента, т. е. коэффициент корреляции между сечениями и для любых и не меняется при сдвиге на время , иначе говоря, такой же коэффициент корреляции будет между сечениями и .

Условия (2.5.2) и (2.5.3) являются необходимыми, но недостаточными условиями стационарности. Это означает, что если процесс стационарен, то эти условия выполняются всегда. Обратное утверждение не гарантирует стационарность при . Однако при решении большинства практических задач гидрометеорологии многомерные плотности распределения применяются очень редко, а из гипотезы стационарности используют лишь условия (2.5.2) и (2.5.3), что значительно упрощает описание случайных процессов. В связи с этим в корреляционной теории выделяют класс случайных процессов, для которых выполняются условия (2.5.2) и (2.5.3). Такие процессы называют стационарными в широком смысле. В общем случае стационарность в широком смысле не тождественна стационарности в узком смысле. Случайные функции, стационарные в узком смысле, будут стационарны и в широком смысле, но не наоборот. Но имеется целый класс стационарных процессов, для которых понятие стационарности в узком и широком смысле совпадают. Это – нормальные стационарные процессы, для которых функция плотности вероятностей полностью определена математическим ожиданием и корреляционной функцией. В дальнейшем, когда речь будет идти о стационарности, мы будем иметь в виду именно стационарность в широком смысле.

Из симметричности корреляционной функции (см. свойство (2.2.1)) следует и четность корреляционной функции стационарного случайного процесса: .

На практике условия стационарности можно непосредственно проверить, вычислив средние значения, дисперсии и корреляционные функции для разных моментов времени. Если значения средних и дисперсий постоянны для всех сечений, а коэффициенты корреляции между любыми двумя сечениями не зависят от постоянного сдвига, то процесс стационарен.

2.5.1.  Система стационарных случайных функций

Пусть имеем систему случайных процессов . Эта система называется стационарной в широком смысле, или стационарно связной, если в этом смысле стационарен каждый из процессов, входящих в систему, а корреляционные функции связи являются функциями только одного аргумента