Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 12 )

Так, в гидрологии большое внимание уделяется анализу изменений стока и стокообразующих факторов во времени и в пространстве. Назначение этого анализа – выявить основные свойства исследуемых процессов: изменчивость, цикличность, характеристики периодических и непериодических колебаний, преемственности в развитии и пр. и предсказать их поведение в будущем.

Поля метеорологических величин вследствие турбулентности атмосферы крайне изменчивы как в пространстве, так и во времени. В частных случаях, фиксируя момент времени, мы можем рассматривать процессы синоптического характера; фиксируя пространственные координаты, мы можем рассматривать эволюцию процесса в интересуемом месте.

Основное отличие пространственных рядов от временных состоит в том, что их значения по пространственному аргументу распределены неравномерно, так как точки наблюдений в пространстве в основном расположены на неравных расстояниях.

Временные процессы мы рассмотрели подробно, теперь остановимся на описании пространственных случайных полей.

2.9.2.  Однородные и изотропные случайные поля
и их характеристики

Существенным в описании временных случайных процессов, как мы видели, является условие их стационарности. Аналогичными упрощающими условиями для описания пространственных случайных полей являются условия их однородности и изотропности.

Если все n-мерные законы распределения не изменяются при любом сдвиге (параллельном переносе) системы точек на один и тот же вектор , т. е. функции распределения (плотности распределения) не изменяются при замене сечений, соответствующих точкам , сечениями

,

то такое случайное поле называется однородным. Если при этом конечномерные плотности вероятности не изменяются при всевозможных вращениях системы точек вокруг осей, проходящих через начало координат, и при зеркальных отражениях этой системы точек относительно плоскостей, проходящих через начало координат, то такое случайное поле называется однородным и изотропным.

По аналогии с п. 2.5,

,

,

где зависит только от одного аргумента r – сдвига сечений в пространстве.

Для двух произвольных сечений однородного изотропного случайного поля двумерную плотность распределения вероятностей в общем виде можно записать

.

Соответствующие моменты примут вид:

, (2.9.1)

. (2.9.2)

Очевидно, что при .

Если случайные поля однородны и изотропны, то условия (2.9.1) и (2.9.2) всегда выполняются. Обратное утверждение не всегда верно. Однако в практике гидрометеорологических исследований выполнение названных условий ведет к значительному упрощению обработки статистического материала. Поэтому, если условия (2.9.1) и (2.9.2) выполняются, то, по аналогии с временными процессами, случайное поле называют однородным в широком смысле. Обычно, говоря об однородности и изотропности, в практике гидрометеорологии понимают однородность в широком смысле. Естественно, что для полей гидрометеорологических характеристик турбулентного потока предположение об однородности даже в широком смысле всегда является некоторой идеализацией, так как точно оно никогда не выполняется. Действительно, говоря об однородности, необходимо потребовать, чтобы поток заполнял все неограниченное пространство, а уже одно это предположение является идеализацией в применении к реальным потокам. Далее, необходимо, чтобы все средние характеристики потока (скорость, давление, температура, влажность, соленость и пр.) были постоянными во всем пространстве, и чтобы статистический режим пульсаций не менялся при переходе от одной части пространства к другой. Разумеется, что эти требования могут выполняться лишь с удовлетворительной точностью в пределах некоторых ограниченных областей пространства, малых по сравнению с масштабами макроскопических неоднородностей и достаточно удаленных от всех ограничивающих поток твердых стенок. Таким образом, на практике можно говорить об однородности гидродинамических полей лишь в некоторой определенной области.

По аналогии с временными процессами можно говорить и об осреднении пространственных полей по одной реализации в том случае, если выполняется условие эргодичности, а именно: однородное поле обладает свойством эргодичности, если все случайные характеристики, полученные осреднением по одной реализации, при безграничном увеличении диаметра области сходятся по вероятности к соответствующим характеристикам, полученным осреднением по всему множеству реализаций случайного поля.

Структурная функция однородного случайного поля имеет вид:

и по аналогии вывода в п. 2.8 имеем:

.

Для характеристики случайного поля, однородность которого является лишь приближенной, использование структурных функций по сравнению с корреляционными иногда бывают предпочтительнее.

В частности, это, например, имеет место при исследованиях пространственной мезо - и макроструктуры гидрометеорологических полей, когда широтные различия в притоке солнечной энергии, различный характер воздушных течений над океанами и материками и др. вызывают нарушения однородности пространственных полей. Однако надо помнить, что по экспериментальным данным часто бывает трудно получить значение структурной функции , которое для достаточно больших расстояний можно было бы принять за насыщающее значение .

2.10.  Экстраполяция, интерполяция
и сглаживание случайных функций

Рассмотрим несколько задач, наиболее часто встречающихся в гидрометеорологии.

Пусть реализация случайного процесса на промежутке изменения аргумента определена в результате опыта с некоторой ошибкой , представляющей в свою очередь реализацию какого-то случайного процесса . Так, что в результате опыта получена реализация:

,

где – истинное значение реализации,

– ошибка измерения.

Требуется определить истинное значение реализации для некоторого аргумента , т. е. отделить его от ошибки измерения. Такую задачу называют задачей сглаживания, или фильтрации случайного процесса.

В гидрометеорологии эта задача возникает при обработке экспериментальных данных как задача сглаживания ошибок, неизбежно сопутствующих всем измерениям из-за точности используемых методов, точности измерительных приборов и т. д.

Если по имеющейся реализации требуется дать прогноз истинной реализации для значений аргумента , где
Т > 0, то такую задачу называют задачей об экстраполяции со сглаживанием, при этом величину Т часто называют упреждением. Например, имеется ряд N наблюдений за годовым объемом стока. Требуется предсказать объем стока за последующий (N+1)-й год.

При Т<0 эту задачу называют задачей об интерполяции со сглаживанием. Например, 1) во временном ряду наблюдений за годовым объемом стока есть пропущенные данные, которые требуется восстановить; 2) по имеющимся в распоряжении картам снята батиметрия водоема или рельеф местности с некоторым шагом (например, 1 км). Для каких-то целей требуются данные с шагом 500 м.

Заметим, что в качестве аргумента t может выступать не только время, но и любая другая переменная, предположим расстояние.

На практике мы почти всегда получаем реализацию интересующего нас случайного процесса, включающую ошибки измерения. Если измерения проведены с требуемой точностью, то говорят в этом случае соответственно о «чистой» экстраполяции и «чистой» интерполяции. Задачи об экстраполяции, интерполяции и сглаживании можно рассматривать как единую задачу определения истинного значения реализации при некотором значении аргумента . Математическая формулировка такой задачи заключается в следующем. Известна реализация на некотором промежутке изменения параметра . Требуется определить значение реализации в момент : при Т > 0 речь идет об экстраполяции; при Т < 0 – об интерполяции; при Т = 0 – о сглаживании.