Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 8 )

Из всех начальных моментов случайной функции самостоятельное значение имеет только первый, остальные моменты, более высоких порядков, используются как вспомогательные для вычисления центральных моментов или их частных случаев, когда математическое ожидание случайной функции равно нулю. Записать начальный момент любого порядка не представляет трудности. Так, начальные моменты второго порядка могут быть двух типов:

·  для одного и того же сечения случайной функции – и

·  смешанный момент второго порядка для двух различных сечений – .

Центральным моментом порядка случайной функции U(t) называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней ее центрированных сечений:

,

где – центрированные сечения.

Центральные моменты нулевого и первого порядков не представляют самостоятельного интереса, так как всегда равны постоянным величинам, соответственно единице и нулю. Центральные моменты второго порядка можно представить, во-первых, для одного и того же сечения случайной функции:

и, во-вторых, для двух различных сечений случайной функции:

.

Момент является функцией одного аргумента и при каждом фиксированном его значении представляет собой дисперсию соответствующего сечения случайной функции:

.

Дисперсия – это уже неслучайная величина, имеющая размерность квадрата размерности рассматриваемой случайной функции, и обладает теми же свойствами, которые рассматриваются в классической теории вероятностей. Положительный квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим отклонением в данном сечении случайной функции: , которое имеет уже размерность, совпадающую с размерностью самой случайной функции, и характеризует разброс случайных значений рассматриваемого сечения около своего центра рассеяния (математического ожидания). В гидрометеорологических исследованиях этот разброс от нормы часто называют аномалиями, изучение которых представляет самостоятельный интерес.

Момент для каждой пары и есть момент связи или корреляционный момент между соответствующими сечениями случайной функции. Его обычно обозначают и называют корреляционной (автокорреляционной), или ковариационной функцией случайного процесса, которая обладает всеми свойствами, рассматриваемыми в классической теории вероятностей для корреляционных моментов. Очевидно, что при корреляционная функция превращается в дисперсию.

Из определения корреляционной функции следует ее симметричность относительно аргументов, т. е.

. (2.2.1)

На практике часто вместо корреляционной функции рассматривают безразмерную нормированную корреляционную (автокорреляционную) функцию

,

которая для каждой фиксированной пары значений представляет коэффициент корреляции, характеризующий степень тесноты линейной зависимости между соответствующими сечениями случайной функции. В общем виде нормированная корреляционная функция для n сечений случайного процесса представима в виде матрицы парных коэффициентов корреляции между соответствующими сечениями, в которой все диагональные элементы равны единице, а элементы, симметричные главной диагонали (в силу свойства симметричности корреляционных функций) равны между собой:

,

При решении многих прикладных задач часто бывает достаточно знать только первый начальный и второй центральный моменты. Причем для нормально распределенных случайных процессов эти характеристики являются исчерпывающими. Следует указать, что раздел теории случайных функций, оперирующий только с математическим ожиданием и корреляционными функциями, называют корреляционной теорией случайных функций.

2.3.  Система случайных функций

На практике приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными функциями. Так, например, при изучении таких случайных процессов, как испарение приходится совместно рассматривать ряд случайных процессов: температуру, ветер, давление атмосферы, солнечную радиацию и др.; при изучении потерь стока рассматривают перехват, испарение, задержание в бессточных депрессиях, инфильтрацию. Поэтому, кроме рассмотренных выше характеристик для каждой случайной функции, существенным является еще установление связи между различными функциями. Начальные моменты первого порядка совпадают с математическими ожиданиями соответствующих случайных функций. Центральные моменты второго порядка могут быть двух видов: во-первых, можно рассматривать второй центральный момент для двух сечений одной и той же случайной функции (это мы делали в предыдущем параграфе); во-вторых – для двух сечений, принадлежащих разным случайным функциям. При этом полученный корреляционный момент называют корреляционной функцией связи, или взаимной корреляционной функцией между двумя случайными функциями.

Рассмотрим, например, систему двух случайных процессов: и . В корреляционной теории ее характеристиками будут: , а также корреляционная функция связи:

,

которая характеризует степень линейной зависимости между сечениями и . В частном случае, при корреляционная функция будет характеризовать степень линейной зависимости сечений случайных процессов и , соответствующих одному и тому же значению аргумента.

Корреляционная функция связи не является симметричной относительно своих аргументов: , но обладает тем свойством, что при одновременной перестановке аргументов и индексов выполняется равенство:

. (2.3.1)

Легко показать, что и автокорреляционная функция, и корреляционная функция связи не изменяется при добавлении к каждой из них неслучайных слагаемых (студентам предлагается выполнить доказательство самостоятельно). Используя этот факт, часто вместо самого случайного процесса рассматривают центрированный случайный процесс (с математическим ожиданием, равным нулю).

Безразмерную величину

называют нормированной корреляционной функцией связи, которая для любой пары фиксированных аргументов представляет собой коэффициент корреляции случайных величин и . Если , то случайные процессы называются несвязными. Также как и для случайных величин, условие несвязности является необходимым, но недостаточным для независимости случайных процессов (оно характеризует только отсутствие линейной зависимости).

Для характеристики N случайных процессов для фиксированных сечений в корреляционной теории достаточно задать N математических ожиданий, N корреляционных функций и N (N–1) корреляционных функций связи.

Корреляционные функции и корреляционные функции связи удобно записывать в виде корреляционной матрицы

,

в которой для краткости записи , и при s = g (по главной диагонали) записаны корреляционные функции, а при s g – корреляционные функции связи между сечениями различных случайных процессов (s, g = 1, 2, …, N).