Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 7 )

Замечание. На практике корреляционную связь выше 3-го порядка используют редко вследствие быстрого накопления ошибок округления при работе с большими выборками.

2.  СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

2.1.  Основные понятия

Классическая теория вероятностей оперирует со случайными величинами, значения которых не зависят от времени или какого-либо другого параметра и при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта меняются случайным образом. Предположим, что результатом опыта является теперь не число, а некоторая функция одного или нескольких аргументов, причем эта функция при повторении (реализации) опытов в одинаковых условиях может каждый раз случайным образом менять свой вид. Такую функцию будем называть случайной, а результат каждого отдельного опыта – возможной реализацией случайной функции. Таким образом, случайную функцию можно определить как множество или ансамбль всех ее реализаций.

Условимся обозначать случайные функции прописными буквами с указанием в скобках аргумента, например U(t), V(t), H(t), а их возможные реализации соответствующими строчными буквами с индексами, указывающими номер опыта, при котором данная реализация получена, например u1(t), u2(t), u3(t), … , uN(t).

В качестве примера можно рассмотреть данные срочных наблюдений на гидрометеорологической станции за температурой воздуха какого-либо определенного дня выбранного месяца (например, 15 мая) в течение нескольких лет (например, пяти). Представим эти наблюдения в виде графика (рис. 1). Наблюдения за отдельный год – это реализации: u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t).

Рис. 1. График изменения температуры воздуха
в течение одного дня 15 мая за несколько лет

Если зафиксировать аргумент случайной функции t = ti и провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, то эта прямая пересечет каждую реализацию только в одной точке. Совокупность таких точек пересечения называют сечением случайной функции и обозначают U(ti). Очевидно, каждое сечение случайной функции представляет собой случайную величину, возможные значения которой – это значения функции в точках пересечения при t = ti. Поэтому случайную величину можно рассматривать как частный случай случайной функции при фиксированном значении аргумента.

На рис. 1 сечение случайной функции показано при t = 6 ч. Оно представляет собой случайную величину с возможными значениями температуры, характерными для выбранного дня в заданное время суток.

Используя понятие сечения, можно случайную функцию определить как совокупность или множество всех ее сечений. Однако можно поступить и наоборот, определив случайную функцию как функцию, значение которой при любом фиксированном значении аргумента является случайной величиной U(ti).

Аргумент t может принимать либо любые вещественные значения в заданном интервале, либо только определенные дискретные значения. В первом случае случайную функцию называют процессом, во втором – случайной последовательностью. Все гидрометеорологические процессы развертываются во времени непрерывно, однако ряды наблюдений мы, как правило, имеем в дискретном виде. Обычно для простоты такого разделения не делают и часто используют термин «случайный процесс» безотносительно к физической природе аргумента.

Надо отметить, что аргументом случайной функции может быть не только время.

Понятие случайной функции хорошо отражает сущность всех гидрометеорологических явлений. Так, например, уровень воды в реке (или водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий, солнечной радиации и пр.; дождевые осадки и сток изменяются во времени и по площади водосбора; аналогично меняются скорость инфильтрации и инфильтрационная способность почвы, распределение консервативных и неконсервативных загрязняющих ингредиентов в атмосфере, водотоках, водоемах, почве. Турбулентный характер атмосферных процессов влечет крайнюю изменчивость метеорологических величин во времени и в пространстве. При этом интенсивные турбулентные пульсации имеют место как для крупномасштабных процессов, так и для движений самого малого масштаба. Наличие турбулентности приводит к тому, что начальные условия не определяют полностью течение процесса и, следовательно, опыты, проведенные при одинаковых внешних условиях, будут приводить к различным результатам.

2.2.  Основные характеристики
случайной функции

В классической теории вероятностей случайная величина Х считается полностью определенной с вероятностной точки зрения, если известна ее функция распределения

,

где Р – вероятность.

Известно, что случайный процесс можно рассматривать как совокупность всех его сечений, каждое из которых представляет собой случайную величину. Поэтому, если мы имеем сечений случайного процесса: то этот случайный процесс мы можем приближенно охарактеризовать функцией распределения полученной системы случайных величин

Очевидно, что эта функция распределения тем точнее будет характеризовать случайный процесс, чем ближе друг к другу будут расположены сечения и чем больше число их взято. Исходя из этого, случайный процесс считают заданным, если для каждого значения аргумента определена функция распределения случайной величины:

,

а также для каждой пары сечений и аргумента определена функция распределения системы двух случайных величин и :

; ,

и вообще для любых значений аргумента определена -мерная функция распределения

случайных величин .

Если существуют смешанные частные производные от многомерной функции распределения, то можно записать многомерный дифференциальный закон распределения (многомерную функцию плотности вероятности):

.

Случайный процесс будет полностью охарактеризован только в том случае, если заданы все многомерные функции распределения.

Очевидно, что теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать при этом все более полную характеристику случайного процесса. Однако установить вид многомерных функций распределения и оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно, и в этом далеко не всегда есть необходимость. Поэтому на практике более чем двумерные законы распределения применяются крайне редко. Часто для изучения случайных функций (также как и случайных величин в теории вероятностей) оказывается достаточным знание лишь некоторых основных характеристик, описываемых начальными и центральными моментами распределения.

Начальным моментом порядка случайной функции U(t) называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней ее различных сечений:

.

В частности, начальный момент первого порядка: – это математическое ожидание случайной функции при фиксированном значении аргумента (т. е. по заданному ансамблю)

, причем

Здесь и далее предполагается, что интеграл абсолютно сходится; k = 1, 2, … , N – число реализаций; – одномерная функция плотности распределения; – вероятность возможного значения случайной функции в заданном сечении.

Очевидно, что математическое ожидание имеет размерность, равную размерности рассматриваемой величины, и обладает теми же свойствами, которые рассматриваются в классической теории вероятностей.

Математическое ожидание (теоретическое среднее) является уже неслучайной функцией и дает представление о центре, вокруг которого при заданном t группируются значения различных реализаций случайной функции. Например, в качестве случайной функции мы будем рассматривать среднегодовые температуры как функции глубины в заданном районе океана. При этом каждая реализация из ансамбля будет представлять собой график изменения среднегодовой температуры по глубине за определенный год, а математическое ожидание сечения – многолетнюю среднегодовую температуру на определенной глубине. Обычно при изучении гидрометеорологических процессов математические ожидания, полученные осреднением по всем реализациям, представляют собой климатическую норму.