Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 15 )

.

Заметим, что на практике последнее равенство выполняется приближенно из-за ошибок округления, неизбежно возникающих при расчетах.

Как нам уже известно, с принципиальной точки зрения вывод формул для оптимальной экстраполяции и оптимального сглаживания не отличается от вывода формулы оптимальной интерполяции.

Рассмотрим частные случаи (3.2.5).

1. Ошибки измерения отсутствуют, т. е. имеем случай чистой интерполяции или экстраполяции. В этом случае в формуле (3.2.1) , а . Следовательно, , . Тогда формула (3.2.5) принимает вид:

i = 1, 2, …, n. (3.2.6)

Так как корреляционная функция положительно определена, то определитель линейной системы (3.2.6) отличен от нуля и, следовательно, система имеет единственное решение. При этом коэффициенты зависят от степени связанности сечений как между собой, так и с аппроксимируемым сечением .

Если сечения не связаны между собой, но связаны с аппроксимируемым , то все при . Поэтому имеем:

или

,

т. е. коэффициенты определяются через коэффициенты корреляции между сечениями случайной функции и ,
i = 1, 2, …, n.

Если сечение практически не связано с сечениями , что будет иметь место при экстраполяции, когда величина упреждения Т будет выбрана очень большой, то в равенстве (3.2.6) и

, i = 1, 2, …, n.

Определитель этой системы алгебраических уравнений не равен нулю (корреляционная функция положительно определена), а потому выполнение последнего равенства возможно только тогда, когда все коэффициенты . Согласно равенству (3.2.2) в этом случае метод оптимальной экстраполяции дает аппроксимируемое значение, равное математическому ожиданию случайной функции.

2. Ошибки измерений существуют, но они не коррелируют между собой в различных сечениях и не коррелируют с истинными значениями случайной функции, т. е.

при и (3.2.7)

Тогда формула (3.2.5) принимает вид:

.

Так как только при , то

, (3.2.8)

где i=1,2,…, n.

Оценим ошибку оптимальной интерполяции со сглаживанием. В нашем случае равенство (3.2.4) с учетом (3.2.7) принимает вид:

. (3.2.9)

Умножив каждое из n равенств (3.2.8) на соответствующее и сложив результаты, получим:

.

Подставим полученное выражение в (3.2.9).

.

Приводя подобные члены, имеем:

.

В этом выражении последняя сумма неотрицательна (корреляционная функция положительно определена) и . Поэтому ошибка оптимальной интерполяции (экстраполяции) не превосходит дисперсии случайной функции:

, или

т. е. относительная ошибка не превосходит единицы. Окончательно имеем:

, (3.2.10)

где

Вернемся к равенству (3.2.8), обе части которого разделим на дисперсию случайной функции (напомним, что в силу стационарности дисперсия для всех сечений случайного процесса постоянна).

, i = 1, 2, …, n. (3.2.11)

где – дисперсия ошибки, D – дисперсия истинной реализации, – относительная ошибка измерения.

Через нормированные корреляционные функции равенство (3.2.11) запишется:

, i = 1, 2, …, n.

Для краткости дальнейших записей обозначим:

Итак, окончательно система уравнений оптимальной интерполяции (экстраполяции) со сглаживанием имеет вид:

, i = 1, 2, …, n.

Запишем эту систему в развернутом виде.

Систему линейных алгебраических уравнений можно переписать и для случая измерений без ошибок, когда .

Найденные значения (i = 1, 2, …, n) подставим в формулу (3.2.2), записанную для центрированных величин (напомним, что, не нарушая общности рассуждений, мы положили математическое ожидание равным нулю). Переходя к нецентрированным величинам, получим истинное значение случайной функции при заданном значении аргумента.

Очевидно, что методика, изложенная применительно к стационарным процессам одной переменной t, полностью применима и для пространственной интерполяции (экстраполяции) изотропных и однородных полей. Соответствующие формулы легко получаются заменой скалярного аргумента t векторным аргументом .

Метод оптимальной интерполяции, основанный на вероятностной модели согласования гидрометеорологических наблюдений, как показал опыт, обеспечивает по сравнению с другими методами картирования максимальную точность восстановления полей в узлах регулярной сетки.

В случае расчета карты одного крупномасштабного поля (по измерениям этого же поля) для оптимальной интерполяции, как мы уже убедились, необходима предварительная оценка корреляционной функции поля. Эта функция служит естественной характеристикой его пространственной изменчивости. Однако при практической оценке корреляционной функции приходится накладывать статистические ограничения на изменчивость поля, вводя предположения об однородности и изотропности его по отношению к корреляционной функции и о постоянстве его среднего значения. В этом случае корреляционная функция зависит не от координат точек, а только от скалярного расстояния между этими точками.

При океанографических съемках (в виду их высокой стоимости) целесообразно выполнять комплексные измерения многих компонентов полей океана на каждой станции. Большинство из измеряемых полей оказываются связанными между собой уравнениями динамики океана, которые отражают реально существующие в океане физические связи между параметрами состояния водных масс. Физические связи между полями создают существенные ограничения на их пространственную изменчивость, которые отражаются на форме взаимных корреляционных функций этих полей. Картирование крупномасштабной изменчивости океана является задачей комплексного использования всей доступной информации о каждом поле, содержащейся в измерениях различных полей. Так, в работе и др. (см. список дополнительной литературы) методом оптимальной интерполяции в узлах регулярной сетки с шагом 2 построены карты оптических характеристик вод тропической зоны Атлантического океана по данным ряда экспедиций судов Морского гидрофизического института. Дальнейшая проверка полученных расчетов хорошо подтвердила тот факт, что показатель ослабления оптических свойств в основном определяется содержанием планктона и продуктов его жизнедеятельности: в районах с повышенным содержанием биогенов величина показателя ослабления увеличивается, а в зонах конвергенции показатель ослабления уменьшается; в прибрежных водах прозрачность понижается не только за счет высокой продуктивности, но и за счет содержания терригенных веществ.