Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 14 )

Решив полученную систему уравнений, найдем искомые коэффициенты в (3.1.1). Если мы поместим начало координат в рассматриваемый узел сетки или интересуемую точку, то и . Это значение можно принять в качестве искомого значения геопотенциала в узле или точке сетки. Проделав такую операцию для всех точек регулярной сетки или интересующих каких-то точек (влияющие станции для каждой точки будут разными), мы получим в них значения геопотенциала, которые далее можно использовать для численного прогноза либо автоматического расчерчивания диагностических полей.

Изложенная схема интерполяции дает хорошие результаты в случае одинаковой достоверности данных во всех учитываемых пунктах. Реальная же гидрометеорологическая информация имеет различную достоверность в разных пунктах, что может быть связано с использованием приборов различных конструкций, ошибками измерений, различными расстояниями станций влияния и пр. В этом случае интерполяция по приведенной схеме может дать неудовлетворительные результаты. Поэтому необходимо будет учитывать различия в достоверности данных путем введения в систему (3.1.2) дополнительных весов :

Существенно заметить, что какой-либо универсальной методики для выбора весов не существует, поэтому подбор их осуществляется, как правило, на основе эмпирических данных и численных экспериментов (например, пропорционально средней квадратической ошибке данных, пропорционально расстоянию влияющих станций и пр.).

Надо отметить, что аналогичным образом может быть получена система для других видов интерполяционных полиномов.

Как частный случай полиномиальную интерполяцию можно использовать для определения некоторых гидрометеорологических характеристик методом аналогий, когда данные наблюдений по интересующему нас объекту отсутствуют.

Например, необходимо определить норму стока реки В, для которой в качестве аналога взята река А. Для реки А имеются регулярные многолетние наблюдения, на основе которых найдена норма стока л/(с км2). Для реки В проведены только за шесть лет наблюдения, параллельные с наблюдениями за рекой А. Результаты этих наблюдений отражены в таблице.

Таблица

Модуль стока л/(с км2) рек А и В

Реки	1989 г.	1990 г.	1991 г.	1992 г.	1993 г.	1994 г.
А	1,10	1,18	2,09	1,65	2,58	0,78
В	1,38	0,99	2,28	2,08	3,30	0,65

Пусть график связи между значениями модулей стока рек А и В наводит на мысль о их линейной зависимости, т. е.

(3.1.3)

Рис. 2. Связь годового стока рек А и В

Коэффициенты и определяем методом наименьших квадратов из условий требования наилучшей линейной связи так, чтобы

.

После частного дифференцирования последнего выражения система нормальных уравнений принимает вид:

. (3.1.4)

Используя данные таблицы, находим:

Подставив найденные значения в (3.1.4), получим систему уравнений:

,

которая имеет следующее решение: Тогда уравнение (3.1.3) примет вид:

,

откуда л/(с км2).

3.2.  Метод оптимальной интерполяции

Рассмотрим метод линейной оптимальной интерполяции случайной функции W(t), заданной дискретно для на конечном интервале, причем . Считая, что эти значения являются результатами измерений и содержат ошибки, можно записать

, (3.2.1)

где – истинное значение реализации в момент , а – ошибка измерения.

Случайные процессы U(t) и V(t) будем считать стационарными и стационарно связными, а их характеристики – математическое ожидание, корреляционные функции и корреляционные функции связи – известными. Без нарушения общности выводов будем считать, что математическое ожидание равно нулю, т. е. мы рассматриваем соответствующие центрированные случайные функции. В противном случае (если математическое ожидание не равно нулю), нам необходимо случайные функции центрировать.

Искомое значение , являющееся результатом применения линейного оператора L ко всем значениям , можно записать в виде линейной комбинации

, (3.2.2)

где – постоянные коэффициенты, которые надо определить.

Задача сводится, таким образом, к отысканию таких значений коэффициентов , при которых величина

(3.2.3)

обращается в минимум.

Заметим, что в настоящее время практически приемлемое решение поставленной задачи получено при предположениях о линейности и стационарности оператора L, а также и стационарной связности случайных процессов U(t) и V(t).

Известно, что необходимым условием минимума функции n переменных является равенство нулю всех ее частных производных по каждой переменной, т. е. должны быть решениями системы уравнений:

Преобразуем выражение (3.2.3).

.

В последнее выражение подставим (3.2.1)

Воспользовавшись свойствами математического ожидания, преобразуем полученное выражение, особо обратив внимание на правильность операции возведения в степень последнего слагаемого.

+

. (3.2.4)

Продифференцируем по всем :

, i = 1, 2, …, n.

Воспользовавшись необходимым условием минимума функции n переменных, приравняем производные нулю. Получим

. (3.2.5)

Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно , можно убедиться непосредственно, что выполнено и достаточное условие, т. е. выражение (3.2.3) обращается в минимум (вспомним одно из правил, известных из математического анализа, например, смена знака первой производной в окрестности искомой точки).

Коэффициенты называют интерполяционными «весами», с которыми учитываются значения в сумме (3.2.2), причем