Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений (стр. 11 )

Отсюда видно, что для надежного определения искомых характеристик по одной единственной реализации необходимо брать интервал осреднения во много раз больше, чем время корреляции , которое иногда называют «временным масштабом корреляции». Физический смысл этого условия состоит в том, что при величины могут считаться независимыми.

Надо отметить, что отдельные реализации случайного процесса могут иметь свои специфические особенности, например, колебания вокруг различных средних. В этом случае среднее значение, полученное по одной реализации, может значительно отличаться от среднего по ансамблю реализаций.

По отношению к корреляционной функции свойства эргодичности формулируются гораздо сложнее, а потому проверку их на практике осуществить в основном не удается. В связи с этим выводы об эргодичности делают, как правило, на основе соображений о физической сущности случайного процесса.

Выполнение свойства эргодичности имеет большое значение, так как для определения статистических характеристик достаточно располагать одной реализацией, что мы обычно и имеем на практике. Например, в гидрометеорологии далеко не всегда удается осуществить многократное повторение эксперимента в одинаковых условиях, и потому все ряды наблюдений на гидрометеорологических станциях и постах практически представляют собою единственную реализацию. Если же мы все-таки располагаем несколькими реализациями, полученными в одинаковых условиях, то, пользуясь свойством эргодичности, можно получить статистические характеристики осреднением по каждой реализации, а затем взять в качестве искомых среднее арифметическое из них с учетом веса каждой реализации.

2.8.  Структурная функция

Из стационарных процессов наиболее важны процессы со стационарными приращениями

.

Математическое ожидание квадрата приращений (разности сечений, соответствующих двум значениям аргумента) называется структурной функцией :

. (2.8.1)

Впервые структурная функция была введена для описания статистической теории турбулентного движения. Из определения структурной функции видно, что она неотрицательна, т. е. .

Выразим структурную функцию через корреляционную. В формуле (2.8.1) сделаем тождественные преобразования путем добавления и вычитания одной и той же величины :

=

. (2.8.2)

Из последнего равенства видно, что структурная функция четна, т. е. , так как . Заметим, что четность структурной функции следует и из ее определения (3.5.1). При равенство (2.8.2) принимает вид:

.

Этот же результат можно было получить из определения (2.8.1).

Если для случайного процесса выполняется условие , то

. (2.8.3)

Обозначим

. (2.8.4)

Тогда равенство (2.8.2) с условиями (2.8.3) и (2.8.4) примет вид:

, или .

Естественно, что на практике мы не имеем реализации на бесконечном интервале, т. е. не можем знать структурную функцию, соответствующую бесконечному аргументу. Однако в большинстве случаев структурная функция довольно быстро достигает некоторого предельного значения, начиная с которого при дальнейшем увеличении аргумента она фактически не меняется или меняется незначительно. Поэтому часто называют насыщающим значением структурной функции.

Для стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, структурную функцию, как и корреляционную, можно найти по одной единственной реализации по формуле:

.

Во многих случаях использование структурной функции бывает предпочтительнее, чем корреляционной.

Поясним это утверждение. Гидрометеорологические процессы, вообще говоря, нельзя считать стационарными. В качестве примеров, подтверждающих нестационарность, можно привести известный факт потепления Арктики в последние годы, изменение климата и речных стоков под влиянием хозяйственной деятельности человека (строительство гидроэлектростанций на больших реках) и пр. В этом случае средние значения гидрометеорологических величин, а также и другие статистические характеристики, определенные за различные периоды времени, ведут себя неустойчиво. На структурную функцию, исходя из ее определения (2.8.1), нестационарность длинноволновых возмущений не оказывает существенного влияния при малых значениях аргумента . Кроме того, систематические ошибки, содержащиеся в данных различных сечений, при вычислении структурных функций взаимопогашаются. Таким образом, использование структурных функций в ряде случаев позволяет уменьшить нестационарность (неоднородность) случайного процесса и нивелировать систематические ошибки. Однако преимущества структурных функций существенны только при малых значениях . При вычислении же корреляционных функций через структурные точность корреляционных функций не повышается из-за ошибок вычисления насыщающего значения структурной функции.

2.9.  Случайные поля

2.9.1. Основные понятия

Мы рассмотрели случайные функции одного аргумента, в качестве которого в частном случае могло быть время. Однако в гидрометеорологии приходится в основном иметь дело со случайными функциями, зависящими не только от времени, но и от пространственных координат. Такое пространственно-временное распределение получило название поля физической величины, или случайного поля. Например, такие гидрометеорологические процессы, как выпадение атмосферных осадков, испарение с подстилающей поверхности и т. д. образуют трехмерные поля, компонентами которых являются две географические координаты и время. Поля скорости, температуры в пограничном слое атмосферы – это функции уже четырех аргументов (трех пространственных координат и времени).

С точки зрения математики можно рассматривать координаты некоторого трехмерного или четырехмерного (а в общем случае – n-мерного) пространства как вектор с соответствующими этому пространству компонентами, например , а потому сокращенно обозначать случайное поле . Далее, по аналогии со случайными процессами, случайное поле можно рассматривать как множество всех его реализаций или множество всех его сечений, понимая под сечением случайного поля случайную величину, полученную при фиксированных значениях всех его аргументов (иначе, при фиксированном ). Следовательно, простой заменой на все формулы, полученные для случайных процессов, будут иметь место и для случайных полей. Поэтому для случайного поля по аналогии можем записать n-мерную функцию распределения:

,

n-мерную плотность распределения

,

первый начальный момент (математическое ожидание), называемый иногда одноточечным начальным моментом первого порядка,

,

второй центральный момент (дисперсия), называемый иногда одноточечным центральным моментом второго порядка,

,

второй центральный смешанный момент (корреляционная функция), называемый иногда двухточечным центральным моментом (является функцией координат двух точек пространственно-временной области),

,

нормированную корреляционную функцию

,

которая для каждой фиксированной пары точек и представляет коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного поля.

Записанные пространственно-временные моменты могут характеризовать связь, во-первых, между значениями случайного поля в одной и той же точке пространства за два различных момента времени (временная связь, или временные моменты); во-вторых, между двумя различными точками пространства в один и тот же момент времени (пространственная связь, или пространственные моменты); в-третьих, между двумя различными точками пространства в два различных момента времени (пространственно-временная связь). В первом случае фиксируются координаты пространства и имеют дело со случайными временными процессами, которые мы подробно рассматривали выше. Во втором случае фиксируется время и изучается случайное поле, которое является функцией только пространственных координат (в гидрометеорологии такими координатами являются широта, долгота и высота или глубина). Третий случай является более общим, когда случайное поле является функцией пространственных координат и времени.