где 
непрерывно дифференцируемое поле метрического тензора, удовлетворяющее условию
дифференциал дуги при бесконечно малом смещении точки по любой кривой многообразия 
.
Отметим, что на одно и то же многообразие можно по-разному накладывать метрику. В данном выше определении конкретизированы лишь некоторые условия на выбор тензора 
, в остальном же его выбор остается произвольным.
Типы определяемых метрик 
приводят к соответствующим типам пространств. Для конкретизации интересующих нас пространств (Минковского и Римана) обратимся к полученному в дифференциальной геометрии решению задачи о параллельном переносе вектора по замкнутому контуру в Римановом пространстве. Оно таково: вектор 
параллельно обнесенный по бесконечно малому замкнутому 
контуру, лежащему на какой-либо 2-мерной поверхности и стягивающемуся в точку, уклоняется от своего первоначального значения на вектор
(5.1)
где определены площадь области 
(ограниченной контуром 
) 
исследуемый вектор 
и 
В (5.1) также определен тензор кривизны Римана:
(5.2)
содержащий коэффициент связности (символ Кристоффеля, характеризующий уклонение вектора 
при его параллельном переносе по некоторому незамкнутому пути в пространстве Римана)
(5.3)
где обозначено 
Тензор кривизны (5.2), в свою очередь, определяет важнейшие для дальнейшего (см. уравнение Гильберта–Эйнштейна ОТО) метрические структуры: тензор Риччи
(5.4)
и скалярную кривизну пространства-времени
(5.5)
Согласно (5.1) геометрический смысл кривизны заключается в том, что она определяет степень нарушения плоскостности Риманова пространства:
1. При 
из (5.3), (5.2) и (5.1) имеем:
Получаемое (как частный случай Риманова пространства) плоское пространство называют псевдоевклидовым (приставка «псевдо» связана с отрицательным знаком для 
компоненты) 4-мерным пространством-временем – пространством Минковского СТО при конкретизации координат 4-точки пространства 
и квадрата интервала событий 
;
2. При 
символы Кристоффеля, тензор кривизны Римана и уклонение не равны нулю. Такое искривленное пространство собственно и называют 4-мерным пространством Римана (псевдоримановым, если его касательные – в каждой точке – пространства оказываются псевдоевклидовыми). Именно такие пространства изучаются в ОТО с квадратом интервала событий 
5.3 Специальная теория относительности
Главное в СТО – переход к единому псевдоевклидовому 4-мерному пространству-времени Минковского и требование замены нерелятивистских преобразований Галилея координат 
некоторого события в одной инерциальной системе отсчета 
к координатам 
того же
события в другой инерциальной системе отсчета 
движущейся относительно (вдоль осей 
и 
) со скоростью 
:
(5.6)
релятивистскими преобразованиями Лоренца–Пуанкаре
(5.7)
где 
скорость света в вакууме. При условии 
(формально 
) выражения (5.7) переходят в выражения (5.6).
Требование инвариантности любой физической теории относительно релятивистских преобразований Лоренца–Пуанкаре получило в СТО название специального принципа относительности (в ОТО формулируется общий принцип относительности). Так, уравнения Максвелла (основные уравнения классической электродинамики):
где 
4-потенциал электромагнитного поля, 
4-вектор тока, 
плотность заряда, инвариантны относительно преобразований Лоренца–Пуанкаре (см. обобщение формул (5.7))
(5.8)
а не относительно преобразований Галилея (см. формулы (5.8) при ). Вспомним, что решение именно этой проблемы (с учетом результата эксперимента А. Майкельсона и Е. Морли) привело к созданию СТО (Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн).
Наряду с утверждением о существовании предельной скорости распространения физических объектов – скорости света, в СТО время (как и пространство) перестает быть «абсолютным» (Г. Галилей, И. Ньютон, Р. Декарт) и, в силу формул (5.7), приобретает относительный характер – оно «течет» по-разному в системах отсчета и 
5.4 Общая теория относительности
В ОТО постулируются три утверждения. Первое – метрика 
в 4-мерном пространстве событий является не псевдоевклидовой (как в случае пространства-времени Минковского СТО), а псевдоримановой, но локально мало отличающейся от псевдоевклидовой. Другими словами, в пространстве событий не существует галилеевых координат, в которых метрическая квадратичная форма 
принимала бы вид 
но существуют координаты, близкие по свойствам к галилеевым. Второе – метрический тензор 4-мерного псевдориманова пространства-времени отождествляется с гравитационным полем, на построение теории которого и
направлены усилия. Третье – тензор энергии-импульса вещества (без гравитационного поля) определяется самой псевдоримановой геометрией этого пространства через уравнение Гильберта–Эйнштейна:
(5.9)
где 
тензор энергии-импульса вещества, 
тензор Риччи (5.4), 
скалярная кривизна (5.5), 
гравитационная постоянная Ньютона и 
скорость света в вакууме. Уравнение (5.9) строится из требования его инвариантности (лишь в этом требовании имеет смысл так называемый общий принцип относительности) относительно произвольных (а не только преобразований Лоренца–Пуанкаре координат локально определенных инерциальных систем отсчета) преобразований координат, от которых зависит метрика 
. Смысл третьего утверждения в том, что геометрия непосредственно связана с распределением вещества. Формально при этом тензор энергии-импульса определяется через геометрию пространства событий – тензор кривизны и метрический тензор. Однако более естественно интерпретировать эту связь в обратном порядке – распределение вещества отражается определенным образом (через уравнение Гильберта–Эйнштейна) на псевдоримановой геометрии пространства событий.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
Основные порталы (построено редакторами)