Основные онтологические и гносеологические положения синергетики как концепции самоорганизации представлены. Далее их конкретизируем математически.
9.1 Понятие динамической системы. Бифуркации. Аттракторы
Простейшей динамической системой в теории нелинейных дифференциальных уравнений называют систему, описываемую двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями:
(9.1)
относительно двух исследуемых 
величин (например, концентраций двух химических реагентов в задачах химической кинетики), зависящих от времени 
Функционалы 
и 
определены через 
и 
нелинейным образом. Любое решение системы (9.1) определяет некоторую кривую на плоскости 
Эту кривую называют фазовой траекторией. При 
может оказаться, что фазовая траектория выходит на асимптотическую точку плоскости 
:
(9.2)
Совокупность точек, для которых выполнено (9.2), называют множеством особых точек динамической системы, описывающих ее состояния равновесия (стационарные решения). Если все решения, близкие к особой точке в
начальный момент времени, стремятся к ней, то точка называется устойчивой (устойчивый узел, фокус). Особая точка может быть и неустойчивой (неустойчивый узел, фокус, седло). Если при система не достигает равновесия, но при этом выходит на 
периодические решения 
, то в системе определен устойчивый предельный цикл: фазовые траектории как изнутри, так и снаружи «наматываются» на цикл (автоколебания). Если же в системе (9.1) происходит изменение числа и устойчивости решений, то говорят о ветвлении или бифуркации решений. Математическим представлением такой ситуации служит 
модификация выражений (9.2):
,
где при бесконечно малом изменении параметра внешних воздействий на систему она спонтанно выходит лишь на одну из ветвей множества возможных решений. Значение параметра, при котором происходит бифуркация решений названо точкой бифуркации. Таких точек может быть несколько как по количеству, так и по типу бифуркации. Более того, кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может произойти и перестройка условий устойчивости – из особой точки может возникнуть предельный цикл. Такую перестройку называют бифуркацией Хопфа.
Важнейшим результатом теории динамических систем оказывается следующий: кроме устойчивых особых точек и предельных циклов, других притягивающих множеств в грубых (при малых изменениях и качественные свойства системы – число решений, устойчивость, бифуркации – сохраняются) системах вида (9.1) не бывает. Здесь «притягивающим» множеством названа совокупность точек на фазовой плоскости 
, к которой стремятся близкие решения при 
. Такие множества получили название аттракторов (attract – притягивать).
Исследования систем трех (и более) нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений обнаруживают (Э. Лоренц), наряду с названными, появление в некоторых случаях решений, ведущих себя (и при ) хаотическим образом (так называемый «маломодовый хаос»). Таким образом (это сам по себе фундаментальный математический результат) системы нелинейных дифференциальных уравнений могут описывать стохастические процессы и без введения каких-либо внешних для динамической системы флуктуаций (флуктуирующих сил). В этом случае, кроме особых точек и предельных циклов (нормальных аттракторов), в динамической системе возникают так называемые странные аттракторы – аттракторы с очень сложной многомерной топологической структурой, например типа известного листа Мëбиуса. Так, в случае трех уравнений для трех исследуемых функций предельные () фазовые траектории в качестве притягивающего множества («привлекающего хаоса» в терминологии И. Пригожина) иногда образуют крайне
причудливую замкнутую структуру в 3-мерном евклидовом пространстве.
9.2 Понятие самоорганизующейся системы
Таковой в синергетике названа открытая (обменивающаяся веществом, энергией и информацией с окружающей средой) нелинейная система, в которой процессы спонтанного упорядочивания (переход от хаоса к порядку) приводят к образованию и эволюции относительно устойчивых структур. Как правило, образуется спектр структур открытой нелинейной системы – множество относительно устойчивых состояний ее организации, к которым, как к аттракторам, стремятся процессы в данной среде.
В математическом плане спектр структур определяется (см. выше) спектром решений соответствующей системы нелинейных дифференциальных (как обыкновенных, так и в частных производных) уравнений. В геометрическом и физическом плане структура (в открытой нелинейной среде) – локализованный в определенных участках среды процесс, способный развиваться, трансформироваться, а также «блуждать» по среде с сохранением формы и своих качественных характеристик.
Если для возникновения структуры необходим противоположный – дезорганизующий – рассеивающий (диссипативный) фактор, ее называют диссипативной структурой (И. Пригожин). Устойчивая, неразвивающаяся, закрепившаяся в одном из аттракторов эволюции открытой нелинейной среды структура относится к классу стационарных структур. Эволюционирующая, способная к росту, усложнению и подверженная распаду структура относится к классу нестационарных структур.
В открытых системах возможен и выход системы на так называемую термодинамическую ветвь – состояние полного теплового хаоса (гибель системы как таковой), как на результат эволюции. Согласно второму началу термодинамики термодинамическая ветвь – единственный итог процессов в закрытых системах. В открытых системах это не так.
Сформулируем фундаментальные характеристики самоорганизующихся систем:
1. Система должна быть открытой.
2. Система должна быть сильно нелинейной. Это означает: а) наличие в ней множества путей эволюции (особых точек, предельных циклов, аттракторов); б) наличие выбора (точек бифуркации) из альтернативных путей и определенного темпа эволюции; в) необратимость («стрела времени») эволюционных процессов, приводящую к разрушению старых и возникновению новых структур (спектра структур); г) периодическое чередование различных стадий протекания процессов (усиление и ослабление интенсивности процессов, интеграции и частичного распада).
В математическом плане (см. выше) нелинейность системы означает уравнения, содержащие искомые функции в степенях, больших единицы, и/или коэффициенты, зависящие от параметров среды. Такие уравнения, как правило, имеют несколько качественно различных решений. Это и позволяет, в конечном итоге, рассматривать неустойчивости и нестабильности в качестве фундаментальныхчертУниверсума.
Теперь мы готовы конкретизировать некоторые онтологические и гносеологические вопросы концепции самоорганизации.
9.3 Причинность в открытых неравновесных динамических системах
Системы нелинейных дифференциальных уравнений типа (9.1) (математически, структурно) записаны как отражающие причинно-следственные (детерминистические) связи онтологических объектов теории – фиксирована зависимость исследуемых функций от времени эволюции открытой неравновесной динамической системы. В этом смысле нелинейная (математическая) физика не теряет (традиционно понимаемой классической наукой) причинности.
Однако нелинейность открытой динамической системы существенно расширяет, разворачивает, усложняет понятие причинности – линейное, монотонное, безальтернативное развитие в представлениях классической физики (второе начало термодинамики фиксирует необратимую эволюцию замкнутой системы лишь к ее термодинамической ветви) сменяется причинным развитием через закономерности рождения и вырастания новых сложных альтернативных структур из малых флуктуаций (хаоса), сборки сложного эволюционного целого из частей и его устойчивого, самоподдерживающегося развития, совместной эволюции разного типа систем, необратимости и частичной обратимости (см. ниже) течения эволюционных процессов в открытых нелинейных системах.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
Основные порталы (построено редакторами)