12.2 Квантовая информация
Естественно определить понятие квантовой информации как информации, которая хранится и передается с помощью квантовых состояний (кубитов), а не классическими битами (см. Лекцию 11). При этом квантовая информация непосредственно связывается с мерой квантовой запутанности локальных объектов – со степенью их «реализма» и может быть выражена количественно, например, через энтропию фон Неймана для чистых состояний (замкнутых запутанных квантовых систем). Квантовая энтропия фон Неймана (см. ниже) строится аналогично классической информационной энтропии Шеннона (см. Лекцию 11). Как энтропия Шеннона характеризует количество информации, содержащейся (в среднем) в одном сигнальном символе 
, появляющемся с вероятностью 
, так и квантовая энтропия фон Неймана характеризует количество квантовой информации в квантовых
состояниях 
, выступающих в качестве сигнальных символов и появляющихся с вероятностью 
. Конечно, свойства энтропии фон Неймана отличаются от свойств информационной энтропии Шеннона, если учитываются такие атрибуты квантовых систем, как, например, неполная различимость неортогональных состояний и запутанные состояния составных (композитных) систем.
Конкретизируем сказанное математически.
Базовым носителем квантовой информации является квантовый бит – кубит. В системах квантовой связи информация передается путем физического переноса кубита или методом телепортации квантового состояния кубита.
В качестве кубита может быть избрана любая квантовая система с двумя ортонормированными состояниями. Эти два состояния выбираются в качестве базисных состояний кубита и обозначаются как 
и 
. В таком базисе можно представить любое (их бесконечно много) нормированное к единице состояние (волновую функцию) кубита 
:
(12.1)
Отметим, что структура состояния (12.1) выражает принцип суперпозиции квантовой механики как линейной теории: если и суть решения уравнения Шредингера, то любая их суперпозиция также есть решение этого уравнения. Здесь заметим, что существующие в научной литературе (см., например, С. Вайнберг) попытки нелинейных обобщений квантовой механики (без обращения к методу вторичного квантования) развития не получили.
Как результат, множество состояний (12.1) образует 2-мерное векторное пространство Гильберта для кубита (формально математически гильбертовым пространством называют бесконечномерное пространство функций, но в данном случае соблюдена традиция квантовой механики – называть гильбертовыми пространства, с волновыми функциями которых идет работа). При этом кубит «живет» одновременно в абстрактном 2-мерном векторном пространстве Гильберта и в 3-мерном пространстве Евклида (в квантовом компьютере как совокупности кубитов, находящемся в этом пространстве). Вычислительные операции совершаются именно в пространстве Гильберта как преобразования вектора состояния (12.1) унитарными (
) 2×2-матрицами (их называют логическими квантовыми гейтами): 
. Одновременно, физические процессы в квантовой системе, избранной в качестве кубита (например, переходы в 2-уровневой атомной системе), описываются в 3-мерном евклидовом пространстве.
Если ансамбль атомов (кубитов) состоит из атомов в состояниях и с вероятностями 
и 
, то такое состояние называют смешанным (смесь чистых состояний и ). Как известно из курса квантовой механики, состояние такого ансамбля может быть математически описано матрицей плотности (Дж.
фонНейман,Л. Ландау):
, (12.2)
и не обладает волновой функцией (не допускает полноты описания). Матрица плотности (12.2) не содержит информации о фазах состояний, составляющих смесь. Это означает, что смешанные состояния не обнаруживают явлений квантовой интерференции. Однако состояния, составляющие смесь, являются квантово-когерентными (интерферирующими), в частности, запутанными, и эта запутанность может быть извлечена из смешанного состояния.
Здесь заметим, что процесс перехода системы из квантово-когерентного чистого состояния, описываемого волновой функцией, к некогерентному состоянию, описываемому матрицей плотности, называют процессом декогеренции системы. Оказывается, что именно декогеренция (уменьшение квантовой запутанности) может объяснить такое фундаментальное и во многом неожиданное для классического философского и физического мышления явление, как возникновение, проявление, «видимость» (как «кажимость») классической реальности из единой квантовой реальности Универсума (Д. Дойч).
С другой стороны, может оказаться так, что даже если система в целом находится в чистом состоянии (описывается волновой функцией), то составляющие ее подсистемы могут находиться в смешанных состояниях (описываться лишь матрицами плотности). Это как раз та ситуация, когда чистое состояние единой (композитной) квантовой системы представляет собой запутанное состояние составляющих систему подсистем. Такая ситуация, в частности, может быть реализована на системе, состоящей из двух кубитов 
и 
. Например, (после двух последовательных унитарных преобразований кубитов) конечное состояние двух кубитов
(12.3)
оказывается запутанным, так как его (вполне определенная) волновая функция не может быть представлена в виде произведения (несуществующих) волновых функций кубитов и . В самом деле, нельзя найти такие волновые функции кубитов
, 
, (12.4)
чтобы выполнялось равенство 
. Однако можно найти матрицы плотности, описывающие в отдельности кубиты и . Такими (их называют приведенными) матрицами плотности оказываются:
(12.5)
где определены матрица плотности композитной системы (12.3) 
, операция взятия «следа» (trace) 
и 2-мерная единичная матрица 
. Согласно (12.5) состояния кубитов и в самом
деле оказываются смешанными: смесь составлена из чистых состояний и с вероятностями их осуществления 
Таким образом, перед нами решающее наблюдение, заключающееся в следующем. В классической физике информация, дающая полное описание системы как целого, достаточна для полного описания и частей целого. В квантовой механике это правило уже не выполняется, если целое находится в запутанном состоянии: информации, дающей полное описание целого (волновая функция (12.3), подчиняющаяся уравнению Шредингера) недостаточно (не существует волновых функций (12.4)) для полного описания частей (в данном случае кубитов и ), из которых «состоит» целое.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
Основные порталы (построено редакторами)