рассматриваются как «точки» многообразия), то 
называют главным расслоенным пространством: 
Пример: 
где 
4-мерное псевдориманово пространство-время, 
пространство фундаментального представления локальной калибровочной 
группы изотопических преобразований и 
число 
генераторов (2×2-матриц преобразований Паули, 
) группы.
Для произвольного расслоенного пространства определяются понятия его связности (аналог символов Кристоффеля ОТО) и кривизны (аналог тензора кривизны Римана ОТО). В современной геометрии внешних форм (классическая дифференциальная геометрия оказывается частным случаем этой геометрии) показывается, что связность (определяет отображение 
слоев друг в друга – групповой индекс «
» – при перенесении их вдоль различных путей в 
базе – пространственно-временной индекс «
») главного расслоенного пространства 
удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению:
(6.1)
Здесь определены 
главные (произвольный набор линейно-независимых векторов – 1-форм, на основе которого определяется внешнее произведение форм и другие структуры геометрии внешних форм) и 
2-индексные внешние формы, связанные между собой соотношением 
структурные константы (
) неабелевой группы 
и индексы принимают значения 
размерность пространства слоя, 
размерность пространства базы. Тензор кривизны главного расслоенного пространства выражается через связность (здесь и далее 
):
(6.2)
6.2 Калибровочные поля как связности главного расслоенного пространства
Теперь мы готовы конкретизировать рассмотрение вопроса о геометризации взаимодействий на основе понятия главного расслоенного пространства. Если в (6.1) взять частные значения внешних форм:
то получим известный (см. Стандартную Модель) закон преобразования для вектор-потенциалов неабелевых 
или абелевых 
калибровочных полей 
:
(6.3)
где внешней 1-формой в слое оказывается 
локализованный параметр унитарного оператора калибровочного преобразования 
Поскольку с точки зрения дифференциальной геометрии характер геометрического объекта определяется его законом преобразования, то из сравнения (6.1) и (6.3) следует возможность отождествить вектор-потенциалы калибровочного поля со связностью главного расслоенного пространства (
), базой которого является 
4-мерное псевдориманово пространство-время, а слоем – фундаментальное (или произвольное) представление группы , действующей на себе.
Тензор напряженности калибровочного поля выражается через вектор-потенциалы следующим образом:
. (6.4)
Тогда, из сравнения (6.2) и (6.4) следует возможность отождествить тензор 
с тензором кривизны главного расслоенного пространства 
Заметим, что ковариантная производная («компенсирующая» производная – введение такой производной в структуру лагранжиана делает его инвариантным относительно заданной группы локальных калибровочных преобразований) произвольного 
геометрического объекта расслоенного пространства в геометрии внешних форм имеет вид:
, (6.5)
где 
произвольная функция объекта. В частности, для группы Ли инфинитезимальных 
преобразований вида
из (6.5), с учетом замен 
и 
, следует (при 
)
(6.6)
Выражение (6.6) совпадает с ковариантной производной Янга–Миллса для полей материи физики элементарных частиц. Так, в случае квантовой электродинамики (
заряд электрона и 
) из (6.6) получаем хорошо известный способ ковариантного введения взаимодействия электромагнитного 
поля со спинорными 
полями материи в лагранжиан теории:
Таким образом, в качестве общего математического утверждения, по существу и составляющего содержание концепции геометризации взаимодействий, выступает следующее. Локализация калибровочных групп означает переход к главному расслоенному пространству. Как результат, локализация внутренних симметрий физики элементарных частиц приводит к
появлению нового физического объекта – калибровочного поля – связности главного расслоенного пространства.
6.3 Проблемы современного этапа
Концепция «калибровочные поля – связности главного расслоенного пространства» успешно реализуется в Стандартной Модели и ее обобщениях вплоть до теории суперструны, если речь идет о геометризации внутренних симметрий частиц и полей. Однако, описание гравитации, отождествляемой с метрикой пространственно-временного многообразия ОТО (базой расслоенного пространства), несущего пространственно-временные (а не внутренние) симметрии, сталкивается с принципиальными трудностями.
В самом деле, для внутренних симметрий геометрическая структура (метрика и связность) пространства-времени существует как внешняя конструкция, не связанная с калибровочными полями. Но каково тогда главное расслоенное пространство для гравитации, привязанной (согласно ОТО) как калибровочное поле к базе (4-мерное псевдориманово пространство-время), а не слою (через который определяется связность)? Сам слой тогда должен строиться как некий пространственно-временной объект?
Теория гравитации как динамика геометрической структуры пространства-времени в дифференциально-геометрическом плане гораздо сложнее калибровочных теорий внутренних симметрий. Следствие этого – многообразие подходов и трактовок гравитационного поля как калибровочного и отсутствие единого понимания главного вопроса: является ли, и в каком смысле, гравитация калибровочной теорией? Этот вопрос имеет три аспекта: 1) Что является калибровочной группой теории; какова роль общекоординатных преобразований? 2) Что есть соответствующие калибровочные поля; какова их связь с геометрическими объектами на пространственно-временном многообразии; в частности, каков статус метрики? 3) Какова динамика теории (действие, лагранжиан, уравнения движения); определяется ли она требованиями калибровочной инвариантности?
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
Основные порталы (построено редакторами)