Философские проблемы современной физики (стр. 22 )

Определив понятия кубитов, запутанных состояний в чистых композитных квантовых системах и матриц плотности, можно определить количественную меру запутанности (на примере двухкомпонентной системы) – квантовую энтропию фон Неймана:

. (12.6)

Величина (12.6) в самом деле дает меру (количество) запутанности в чистом (имеющим волновую функцию) состоянии (12.3) композитной квантовой системы через меры неопределенности состояний подсистем и . Так для чистого состояния (12.3) из (12.6) имеем , так как это состояние определено полностью своей волновой функцией. Однако для состояний подсистем и по отдельности до измерения (до получения информации) и вся неопределенность в матрицах плотности и обусловлена запутанностью в чистом состоянии (12.3).

Итак, запутанность оказывается фундаментальным свойством квантовых систем. В настоящее время в теории квантовой информации для систем, состоящих из двух частей, достигнуты достаточно полные понимание и уровень математического описания запутанности. Однако теорию двухчастичных систем не удается распространить на многочастичные системы. Тем не менее однозначное соответствие между квантовой информацией и запутанностью позволяет от описания системы в терминах запутанности перейти к эквивалентному описанию в терминах информации. В этом случае физические процессы усиления или уменьшения квантовой запутанности могут рассматриваться как процессы обмена информацией между системой и ее окружением. Потеря запутанности может быть представлена как потеря информации в окружении. Количество потерянной информации может быть определено как разность во взаимной информации между соответствующими состояниями. Здесь взаимная информация – мера корреляций между системой и окружением, характеризующая уменьшение запутанности при переходе от чистого состояния к смешанному состоянию квантовой системы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

12.3 Классический и квантовый компьютеры. Принцип Черча– Тьюринга

Как классическая, так и квантовая теории вычислений рассматривают, в основном, два вопроса: 1) что является определением понятия вычислимости;

2) какие технические и математические ресурсы при этом необходимы для вычисления. Базовыми средствами, необходимыми для вычисления, являются средства хранения и обработки символов. Отсюда, в свою очередь, возникают вопросы: 1) насколько сложными должны быть символы и операции над ними; 2) сколько символов и операций необходимо для вычисления.

В рамках классической теории вычислений сформулированные вопросы разрешаются (для алгоритмически разрешимых задач) в концепции так называемой универсальной машины Тьюринга (А. Тьюринг) – математической модели идеализированного вычислительного устройства с линейной (ленточной – бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на элементарные ячейки) памятью, которая (согласно заданным формальным правилам) преобразует входные данные с помощью последовательности (управляющего устройства) элементарных действий (меняется содержание лишь одной ячейки памяти, а число таких действий конечно).

Простота машины Тьюринга, тем не менее, позволяет вычислять на ней всë, что практически можно вычислить на любой другой (кроме квантовой – см. ниже) машине. Это свойство машины Тьюринга получило название полноты по Тьюрингу и для алгоритмически разрешимых проблем может быть сформулировано в виде (не доказанного до сих пор) принципа (тезиса) Черча– Тьюринга: любая функция, к которой применимо определение «вычислимая», может быть вычислена машиной Тьюринга.

Отметим, что (наряду с утверждением теоремы Геделя о неполноте любой аксиоматически построенной математической теории) существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. К таким проблемам относится, например, сама проблема применимости алгоритма – проблема остановки: существует ли общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга и произвольного начального состояния ее ленты определить, завершится ли работа машины за конечное число элементарных шагов, или же будет продолжаться бесконечно долго?

Учитывая тот факт, что законы классической и квантовой физики имеют принципиальное различие, гипотетически следует ожидать (Р. Фейнман, Ю. Манин), что и ответы на поставленные выше вопросы будут в целом принципиально отличны для классического и квантового компьютеров.

Теоретические результаты последних лет дают основания полагать, что квантовые компьютеры обладают существенными преимуществами по сравнению с классическими компьютерами и могут обеспечить решение задач, считающихся «нерешаемыми» на классических компьютерах. В частности, алгоритм решения задачи о вычислении простых множителей больших разрядных чисел (факторизация числа) на квантовом компьютере благодаря эффекту кантовой запутанности оказывается (П. Шор) разрешимым алгоритмом полиномиальной (класса) сложности (число операций ~вероятность ошибочного результата), тогда как классический компьютер реализует алгоритм экспоненциальной (класс) сложности (А. Экерт) – число операций ~константа.

Таким образом, для больших время решения задачи для классического компьютера может достигать порядка миллиона лет (практически неразрешимая задача), тогда как квантовый компьютер решит такую задачу за несколько часов. Более того, результат П. Шора опровергает тезис Черча– Тьюринга, сформулированный в виде: все компьютеры эквивалентны в том смысле, что переход от одного компьютера к другому не изменяет класса сложности решения задачи. Видим, что тезис нарушается, если этим «другим» становится квантовый компьютер.

Несколько конкретизируем утверждение о существенном преимуществе квантового компьютера перед классическим через сравнение их информационных ресурсов. Рассмотрим идеальный квантовый компьютер – компьютер, состояния (кубитовые) которого всегда когерентны. Другими словами, предполагается (конечно, это не соответствует физической реальности), что отсутствует взаимодействие компьютера с окружением, создающим шумы и нарушающим когерентность (декогеренция) вектора состояния компьютера и внешние (классические) сигналы осуществляют точное управление (отсутствуют связанные с этим ошибки вычислений). Для такого компьютера вектор состояния (волновая функция) квантового регистра из кубитов (каждый кубит находится в состоянии суперпозиции (12.1)) в каждый момент времени представляется разложением по базисным состояниям регистра :

. (12.7)

Вся информация о физической квантовой системе содержится в ее векторе состояния (12.7). Манипуляции с квантовой системой – это преобразование (путем физических манипуляций с кубитами на квантовом уровне) ее начального вектора состояния в другой вектор . Таким образом, процесс вычислений на квантовом компьютере рассматривается как (унитарное – сохраняющее энергию) преобразование (логический гейт) вида , где унитарная матрица преобразования. Из (12.7) видим, что достаточно ограниченный физический ресурс, например небольшое количество частиц (кубитов), создает экспоненциально большой математический информационный ресурс (идеального) квантового компьютера. Например, в фиксированный момент времени для двух битов классический регистр находится лишь в одном из (00), (01), (10) или (11) состояний, тогда как для двух кубитов квантовый регистр находится в 22=4 – компонентном состоянии суперпозиции: где для любых значений проекций из континуума [0;1]. Именно это обстоятельство говорит об основных преимуществах квантового компьютера.