Эконометрика, её задача и метод. Эконометрические модели и два принципа их спецификации (стр. 18 )

Поясним происхождение этих проблем на примере двухфакторной нелинейной модели следующего вида:

Попытаемся использовать при определении оценок a0, a1, a2 ее параметров a0, a1, a2 метод наименьших квадратов при условии, что значения переменныхуt, х1t и х2t, t=1, 2,..., Т известны. Сумма квадратов ненаблюдаемых значений ошибки еt, t=1, 2,..., Т; в данном случае может быть представлена в следующем виде:

В соответствии с выбранным критерием искомые значения оценок a0, a1, a2 должны удовлетворять условию минимума функции S2, что приводит к появлению трех уравнений:  Учитывая, что S2 определено выражением (11.2), представим эти уравнения в виде следующей системы (аналога системы нормальных уравнений):

Несложно заметить, что уравнения системы (11.3) являются нелинейными относительно неизвестных значений a0, a1 и a2. При этом нелинейность в данном случае усугубляется необходимостью суммирования сложных функций, выраженных отношениями и квадратами зависимой и независимой переменных модели. Решение системы (11.3) можно получить, только используя достаточно сложные итеративные процедуры нахождения ее корней. При этом следует заметить, что для другой формы эконометрической зависимости, отличной от выражения (11.1) будет получена и другая, отличная от вида (11.3) система нелинейных уравнений. Для ее решения возможно придется применять и другую процедуру, учитывающую специфические особенности формы ее уравнений.

45. В чем состоит суть методов Гаусса?

Пусть дана система 
 , ∆≠0. (1)

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных

 37. Линейные модели с распределёнными лагами.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.

При исследовании экономических процессов часто приходится моделировать ситуации, когда значение в текущий момент времени формируется под воздействием факторов, действовавших в прошлые моменты времени: Задержанные значения факторов называют лаговыми значениями, а наибольшую величину задержки называют длиной лага Модель вида 

называют моделью с распределенным лагом. В качестве объясняющих причин также могут выступать лаговые значения зависимой переменной .

Модель вида 

называются моделями авторегрессии. Может быть составлена такая модель общего вида:

.

Она может быть разложена на 2 составляющие:

- составляющая с распределенным лагом длины ,

- авторегрессионная составляющая порядка .

11.1. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом

модель с распределённым лагом - это модель временного ряда, в которой в уравнение регрессии включено как текущее значение объясняющей переменной, так и значения этой переменной в предыдущих периодах.

Коэффициент  характеризует средние абсолютное изменение объясняемой переменной  при изменении регрессора  на одну единицу собственного измерения в момент  без учета воздействия лаговых значений переменной x. Поэтому  называют – краткосрочным мультипликатором. Сумму коэффициентов от  до  называют долгосрочным мультипликатором, его обозначают  без индекса.

Относительные коэффициенты такой модели выражаются формулой.

.

Если все  имеют знак «+» и значение каждого коэффициента заключено между 0 и 1, а сумма всех коэффициентов от  до  , то можно ввести следующие характеристики:

1.Средний лаг  , где  - средний период, в течение которого будет происходить изменение под воздействием изменения. Небольшая величина  говорит о быстром реагировании y на изменение фактора и наоборот.

2.Медианный лаг  ; он представляет такой период, в течение которого, начиная с момента  , будет реализована половина общего воздействия фактора на объясняемую переменную.

Применение классического МНК к модели с распределенным лагом осложняется следующими причинами:

1) текущие и лаговые значения фактора обычно тесно связаны друг с другом и оценка параметров будет производиться в условиях сильной мультиколлинеарности;

2) при большой длине лага снижается число наблюдений и увеличивается число регрессоров;

3) в модели с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции в остатках.

11.2. Интерпретация параметров модели авторегрессии

Авторегрессионная (AR-) модель — модель временных рядов, вкоторой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого жеряда.

Рассмотрим простейшую модель авторегрессии, а именно модель первого порядка  :

.

Так же, как и в модели с распределением лагом, коэффициент  является краткосрочным мультипликатором. Долгосрочный мультипликатор будет вычисляется как сумма членов геометрической прогрессии:

К моменту времени  результативный признак  изменяется под воздействием изменения фактора  в момент времени  на величину  , а

– под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент изменяется на величину  . Таким образом, результирующее изменение результативного признака в момент  будет равно  и так далее.

Произведение  можно рассматривать как промежуточный мультипликатор.

– эта прогрессия возникает в силу рекуррентности формулы авторегрессии и она будет являться бесконечной. Используя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая является сходящимся рядом, можно найти сумму этого ряда:

, где  .

Заметим, что такая интерпретация коэффициентов регрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предположении бесконечного лага.

11.3. Соображения о выборе лаговых структур в модели с распределенным лагом

Текущее значение фактора  и его лаговые значения оказывают на результативный признак  различное по силе воздействие. В большинстве моделей, описывающих реальные экономические процессы, коэффициенты регрессии при лаговых переменных убывают с ростом величины лага, но это не обязательно.

Вообще говоря, в большинстве случаев строят предположения о структуре лага на основе экономической теории или на результатах эмпирических исследований.

11.4. Полиномиальные лаговые структуры Алмон

Рассмотрим модель, в которой распределенный лаг имеет конечную длину  . Зависимость коэффициентов регрессии  от величины лага описывается полиномом, в общем случае, некоторой степени  .

Для полинома 1-ой степени:

2-ой степени:

3-ей степени: 

4-ой степени: 

В развернутом виде коэффициенты перепишутся так:

Тогда уравнение можно записать таким образом:

Суммы в скобках последнего выражения можно принять за новые переменные z0, z1, …, zk и тогда получим уравнение: