Эконометрика, её задача и метод. Эконометрические модели и два принципа их спецификации (стр. 4 )

Закон распределения пары Px, y(q, r) и формула условной вероятности события p(В/А)=NAB/NA служат основой понятия условного закона распределения случайной переменной.

Функцией регрессии у на х – эта функция обозначается символом Е(у/х) – называется ожидаемое значение случайной переменной у, вычисленное при заданном значении переменной х, т. е.

Величина Е(у/х) является функцией аргумента х. Эта функция позволяет представить случайную переменную у в виде у=Е(у/х)+u, где u – случайная переменная (остаток), такая, что Е(u/x)=0.

Разложение случайной переменной у с таким свойством именуется регрессионным анализом переменной у. Функция регрессии Е(у/х) интерпретируется в эконометрике как выраженный математическим языком экономический закон, по которому изменяется объясняемая (эндогенная) переменная у в ответ на изменения объясняющей (экзогенной) переменной х. В силу свойства дисперсии средний квадрат разброса значений переменной у вокруг величины Е(у/х) оказывается минимальным, при каждом значении переменной х:

Е(у-Е(у/х)2/х)=minЕ((у-f(x))2/x)

Минимум здесь берется по всем возможным функциям f(x). В силу данного свойства функция регрессии Е(у/х) является оптимальным алгоритмом прогнозирования значений переменной у по значениям переменной х:

13. Точность прогноза функцией регрессии.

При использовании уравнения множественной регрессии в целях прогнозирования, необходимо давать точечную и интервальную оценку полученных прогнозных значений зависимой переменной.

Средняя ошибка прогноза (  ) зависит от среднеквадратического отклонения индивидуальных значений от выравненных по уравнению регрессии Se и ошибки положения гиперплоскости регрессии при экстраполяции факторных признаков (расчет этой ошибки производится с применением линейной алгебры, что не входит в программу дисциплины «Эконометрика»).

Доверительный интервал прогноза имеет вид:

.

При оценке прогноза предпочтительнее проводить интервальное оценивание, поскольку вероятность осуществления точечного прогноза невелика.

Интервал достаточно широк прежде всего за счет малого объема наблюдений. При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у^ но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также анализа динамики данного фактора.

14. Точность оптимального прогноза для нормально распределённого случайного вектора.

Маргинальные распределения нормально распределенного случайного вектора также являются нормальными. 

Таким образом, координаты нормально распределенного случайного вектора не коррелированы тогда и только тогда, когда они независимы. 

Таким образом, для нормально распределенного случайного вектора количество информации об одной из составляющих случайного вектора, получаемое в результате наблюдения другой составляющей, зависит только от коэффициента корреляции этих двух составляющих. 

Таким образом, координаты нормально распределенного случайного вектора, не коррелированы тогда и только тогда, когда они независимы. 

Последовательное оценивание ковариационной матрицы нормально распределенного случайного вектора Xможет быть рассмотрено таким же образом, как оценивание вектора математического ожидания. Предполагается, что вектор математического ожидания известен и, без ограничения общности, - что он равен нулю. Ранее мы предположили, что априорная плотность вероятности р ( Х11) является нормальной. С другой стороны, известно, что выборочная ковариационная матрица имеет распределение Уишарта. 

Последовательное оценивание ковариационной матрицы нормально распределенного случайного вектора Xможет быть рассмотрено таким же образом, как оценивание вектора математического ожидания. Предполагается, что вектор математического ожидания известен и, без ограничения общности - что он равен нулю. Ранее мы предположили, что априорная плотность вероятности р ( Х / 1) является нормальной. С другой стороны, известно, что выборочная ковариационная матрица имеет распределение Уишарта. S / 2o, NO), где NO - число объектов и SQ - начальное предположение об истинной ковариационной матрице.

15. Теорема Гаусса-Маркова.

Доказано, что для получения по МНК наилучших результатов (при этом оценки bi обладают свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности) необходимо выполнение ряда предпосылок относительно случайного отклонения

Предпосылки использования МНК (условия Гаусса – Маркова)

1. Случайное отклонение имеет нулевое математическое ожидание.

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную.

2. Дисперсия случайного отклонения постоянна.

Из данного условия следует, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение ei может быть различным, но не должно быть причин, вызывающих большую ошибку.

3. Наблюдаемые значения случайных отклонений независимы друг от друга.

Если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции.

4. Случайное отклонение д. б. независимо от объясняющей переменной.

Это условие выполняется, если объясняющая переменная не является случайной в данной модели.

5. Регрессионная модель является линейной относительно параметров, корректно специфицирована и содержит аддитивный случайный член.

6. Наряду с выполнимостью указанных предпосылок при построении линейных регрессионных моделей обычно делаются еще некоторые предположения, а именно:

случайное отклонение имеет нормальный закон распределения;

число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных;

отсутствуют ошибки спецификации;

отсутствует линейная взаимосвязь между двумя или несколькими объясняющими переменными.

Теорема Гаусса - Маркова

Теорема. Если предпосылки 1 – 5 выполнены, то оценки, полученные по МНК, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т. е. M[b0] =b0,M[b1] =b1. Это говорит об отсутствии систематической ошибки при определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т. к. при n®µD[b0]®0,D[b1]®0. Это означает, что с ростом n надежность оценок возрастает.

3. Оценки эффективны, т. е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

16. Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные статистические процедуры. Требования к наилучшей статистической процедуре: несмещённость и минимальные дисперсии оценок параметров

Оценкой ânпараметра a называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величинойX(иначе — статистику), с помощью которой судят о значениях параметра a.

Статистические проверки параметров регрессии основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной величины. Они носят лишь предвари­тельный характер. После построения уравнения регрессии про­водится проверка наличия у оценок тех свойств, которые предполагались. Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критери­ям: быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важ­ное практическое значение в использовании результатов регрес­сии и корреляции.

В отличие от параметра, его оценка ã n— величина случай­ная. «Наилучшая оценка» ãnдолжна обладать наименьшим рас­сеянием относительно оцениваемого параметраa, например, наи­меньшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра М(ã - a)2.

Оценка â n параметра a называется несмещенной, если ее мате­матическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. М(ã) =a.

В противном случае оценка называется смещенной.

Если это равенство не выполняется, то оценка ã , получен­ная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значе­ние a(если М(ã) >a, либо занижать его (если М(ã) < 0). Та­ким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.