Эконометрика, её задача и метод. Эконометрические модели и два принципа их спецификации (стр. 19 )

Чтобы рассчитать параметры модели с распределенным лагом нужно выполнить следующие действия:

1) определить длину лага  . Это можно сделать на основе имеющегося опыта или перебрать несколько значений  ; обычно от 2 до 5,

2) установить степень полинома  ; обычно от 2 до 4,

3) по записанным выше формулам  и таблице наблюдений, содержащей значения  , рассчитать значения новых переменных 

4) выполнить регрессию  на набор переменных  , и определить коэффициенты 

5) по формулам для  рассчитать все значения параметров исходной модели: 

Несмотря на значительную привлекательность описанного выше метода, существуют следующие проблемы:

1. Не всегда легко выбрать длину лага  , но лучше ориентироваться на максимально возможную длину лага (в разумных пределах), чем сразу ограничиваться лагами малой длины. В противном случае можно потерять существенный регрессор, то есть составить неправильную спецификацию модели. Влияние потерянного существенного регрессора будет сказываться в остатках, то есть в модели не станут соблюдаться предпосылки МНК по случайности остатков. Оценки параметров могут оказаться не только неэффективными, но и смещенными. Если лаг выбран слишком длинным, то в модель могут попасть несущественные факторы; эффективность оценок параметров может снизиться, но они останутся несмещенными. Если аналитик располагает достаточными ресурсами времени и вычислительными ресурсами, можно построить несколько моделей с различными значениями  и сравнить их качество.

2. При выборе степени полинома  обычно ограничиваются значениями 2,3,4, руководствуясь следующим соображением: степень полинома  должна быть на единицу больше, чем число экстремумов в структуре лага.

3. Переменные  представляют собой линейные комбинации лаговых значений фактора x и поэтому будут сильно коррелировать между собой, если имеет место высокая степень связи между исходными данными  то есть имеет место автокорреляция во временном ряду объясняющих переменных.

Следует заметить, что при определении параметров  с помощью МНК мультиколлинеарность переменных  скажется меньше, чем мультиколлинеарность переменных  при непосредственном определении параметров  из исходного уравнения.

Преимущества метода лаговых структур Алмон:

1. Существует возможность воспроизвести достаточно разнообразные структуры лага с помощью подбора полинома нужной степени.

2. При небольшом количестве переменных  можно построить модели с распределенным лагом произвольной длины.

11.5. Геометрические структуры Койка

В модели Койка предполагается, что в уравнении регрессии имеет место бесконечный лаг, но коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии, отсюда название – геометрическая структура Койка.

Последнее уравнение справедливо для всякого момента времени, в том числе и для момента  ; поэтому можно записать:

.

Умножим последнее уравнение на  и вычтем из предыдущего:

Краткосрочный мультипликатор рассчитывается как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

.

Если считать, что объясняющая переменная  стремится к равновесию  , то значения  и  будут также стремиться к своему равновесному значению  :

Здесь возможны следующие проблемы:

В уравнении регрессии регрессор  в принципе носит случайный характер, так как содержит остаток  , а значит, нарушается одна из предпосылок МНК. Для случайных остатков  будет иметь место автокорреляция. Если учесть случайный характер регрессора  и автокорреляция в остатках  выражена достаточно сильно, то оценки параметров, полученные с помощью классического МНК, могут оказаться несостоятельными и смещенными.

Средний и медианный лаги модели Койка вычисляются таким образом:

Видно, что если  то  . При  ; при . Величину  объясняют как скорость, с которой происходит во времени адаптация объясняемой переменной  к изменению объясняющей переменной  .

11.6. Оценка параметров авторегрессионных моделей первого порядка (AR(1)–моделей)

Такая модель выглядит следующим образом:  .

Авторегрессионная модель довольно часто используется в эконометрических исследованиях, но при их построении возникает 2 проблемы:

Первая проблема касается выбора метода оценки параметров: так как в правой части регрессионного уравнения присутствует лаговая переменная  , то тем самым нарушается предпосылка МНК о делении переменных на стохастическую объясняемую переменную и детерминированную объясняющую переменную;

Вторая проблема состоит в том, что регрессор  явным образом коррелирует с остатком  и тем самым нарушается 4–е условие Гаусса-Маркова. Поэтому применение классического МНК для оценки параметров этой модели приводит к получению смещенной оценки коэффициента c1.

Популярным методом расчета параметров AR– модели является метод инструментальных переменных (ИП). Суть этого метода заключается в следующем: та переменная в правой части AR–модели, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на другую переменную, которая эту предпосылку не нарушает. Применительно к  модели заменить на инструментальную переменную следует лаговую переменную  . Эта переменная должна обладать двумя свойствами:

1) сильно коррелировать с  ,

2) быть детерминированной и не коррелировать с остатком.

Рассмотрим два способа получения инструментальной переменной:

Способ 1. Так как в модели переменная  зависит не только от  , но и от фактора  , то можно построить модель с одним регрессором  и теоретическое значение  , полученное с помощью такой модели, можно использовать в качестве инструментальной переменной.

Параметры  в последнем уравнении можно найти с помощью классического МНК. Здесь оценка  тесно коррелирует с наблюдаемой переменной  и является линейной функцией от фактора  , для которого 4–е условие Гаусса–Маркова не нарушается. Следовательно, ИП  также не будет коррелировать с остатком  . Таким образом, оценки параметров уравнения  можно найти из соотношения

.

Способ 2. Подставим в AR–уравнение вместо  его выражение

, тогда получим:

Мы получили уравнение модели с распределенным лагом, для которой можно применить классический МНК.

В результате последовательного проведения двух регрессий мы получаем следующие значения:

Практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется следующими обстоятельствами:

– при способе 1 возникает интеркорреляция между переменными  и  ; так как  функционально связана с  , то можно ожидать упомянутую выше интеркорреляцию.

– при способе 2 может помешать такое обстоятельство, что  в исходной модели больше коррелирует с  , чем с  . Тогда модель  , а значит и модель  будут не вполне достоверно представлять переменную  в правой части для модели  по второму способу.

Эти проблемы иногда удается смягчить путем включения в модель временного фактора  в качестве независимой переменной.

11.7. Модель адаптивных ожиданий

Методы, которые созданы для построения и анализа DL– и AR– моделей, можно использовать для верификации макроэкономических моделей, учитывающих определенные ожидания относительно значений экономических показателей, включенных в модель в момент времени t. Рассмотрим модель адаптивных ожиданий вида:

.

Здесь yt – фактическое значение результативного признака (объясняемой переменной), а  – ожидаемое значение факторного признака в момент t+1.

Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий:

Таким образом, ожидаемое значение фактора в некоторый момент времени t+1 представляет собой средневзвешенное его фактического и ожидаемого значений в предыдущий период t. Видно, что в каждый период t+1 ожидания корректируются на некоторую долю  от разности между фактическим и ожидаемым значениями фактора в предыдущий период. Параметр  называют коэффициентом ожиданий. Чем ближе он к единице, тем в большей степени реализуются ожидания экономического агента, и наоборот, приближение коэффициента  к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций. Это означает, что условия, доминирующие сегодня, будут сохраняться на будущие периоды времени.

В уравнение  подставим выражение  и получим 

. (*)

Далее, если рассматриваемая изначально модель имеет место для момента или периода t, то она очевидно будет действовать и в период t–1, а значит мы можем записать:  . Умножим последнее уравнение на  и вычтем из уравнения (*):